Il pendolo – 4

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Sulla tensione in un pendolo

Il pendolo mostrato in figura è formato da una pallina di massa m = 10 \ kg appesa ad un filo ideale di lunghezza L. Il pendolo viene spostato dalla posizione di equilibrio di un angolo \theta = 30^\circ e poi lasciato libero di oscillare

  • Calcola il massimo valore della tensione T che il filo può sopportare prima di rompersi

Soluzione

Innanzitutto, il punto di massima velocità si avrà quando la pallina è completamente in verticale, come mostrato nella seguente figura in cui disegniamo anche le forze che agiscono sulla pallina ed un opportuno sistema di riferimento:

Scriviamo la risultante delle forze ricordando che, dal momento che la pallina traccia un arco di circonferenza, possiamo scrivere l’accelerazione a (che compare nella relazione F = ma) come l’accelerazione centripeta:

    \[a = \frac{v^2}{L}\]

Quindi:

    \[T - mg = m\frac{v^2}{L}\]

La tensione sarà dunque:

    \[T = mg + m\frac{v^2}{L}\]

Dal momento che non abbiamo informazioni sulla velocità v possiamo utilizzare la conservazione dell’energia dal momento che la pallina è soggetta solamente all’azione della forza peso, ovvero entrano in gioco solamente forze conservative:

    \[mgh = \frac{1}{2}mv^2\]

L’altezza h da cui parte la pallina è facilmente ricavabile sfruttando un po’ di trigonometria, come mostriamo nella seguente figura:

Per cui:

    \[mgL(1-\cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2\]

da cui ricaviamo:

    \[v^2 = 2gL(1-\cos \theta)\]

Sostituiamo nell’espressione della tensione:

    \[T = mg + m\frac{2gL(1-\cos \theta)}{L}\]

Semplificando L otteniamo infine:

    \[T = mg + m2g(1-\cos \theta) = 1,2 \cdot 10^2 \ N\]