Ottica geometrica - 7

Sulla legge di riflessione di tre specchi

Tre specchi perfettamente riflettenti e di lunghezza $L$ sono posizionati come in figura. Supponiamo che dal punto $P$ posto a distanza $L/2$ rispetto allo specchio di destra parta un raggio diretto come in figura.

Per avere il raggio riflesso mostrato in rosso nella figura, a che angolo $\theta$ deve incidere il raggio sullo specchio di destra?

Soluzione

Questo problema è risolvibile usando un po’ di trigonometria e ricordando che per la legge della riflessione:

$\theta_i = \theta_r$

Consideriamo la seguente figura:

Sia $x$ l’altezza del punto della parete di destra in cui il raggio incide e ricordiamo che il punto $P$ si trova a metà del lato, ovvero dista $L/2$ dalla parete di destra e di sinistra. Se consideriamo il triangolino sotto, essendo un triangolo rettangolo, valgono le seguenti relazioni:

$\sin\theta_i = \dfrac{x}{\sqrt{\bigg(\dfrac{L}{2}\bigg)^2 + x^2}}$

$\cos\theta_i = \dfrac{\dfrac{L}{2}}{\sqrt{\bigg(\dfrac{L}{2}\bigg)^2 + x^2}}$

Dal triangolo sopra in giallo otteniamo invece:

$\sin\theta_r = \frac{L - x}{\sqrt{L^2 + (L - x)^2}}$

$\cos\theta_r = \frac{L}{\sqrt{L^2 + (L - x)^2}}$

Ricordiamo che la tangente è definita come:

$\tan\theta = \frac{sin\theta}{\cos\theta}$

da cui otteniamo per l’angolo di incidenza:

$\tan\theta_i = \dfrac{x}{\sqrt{\bigg(\dfrac{L}{2}\bigg)^2 + x^2}} \cdot \dfrac{\sqrt{\bigg(\dfrac{L}{2}\bigg)^2 + x^2}}{\dfrac{L}{2}} = \frac{2x}{L}$