Moto uniformemente accelerato - 7

Sul calcolo della distanza in un moto di caduta libera di un grave

Un impianto a gocce lascia cadere acqua ad intervalli di tempo regolari. Quando la prima goccia tocca terra, la sesta è in partenza, le altre 4 ancora in fase di caduta.
Sapendo che ogni goccia impiega $t = 1 \ s$ per toccare terra:

Calcola quanto in alto è posta la bocchetta che le rilascia
A che distanza dalla bocchetta si trova la terza goccia della sequenza?

Soluzione

Scegliamo un riferimento per l’asse y rivolto verso l’alto e con origine a terra.

Sapendo il tempo di caduta delle gocce, ricaviamo l’altezza della bocchetta dalla legge di caduta dei gravi:

$\begin{align*}y(t) &= y_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2 \\[.5em]&\rightarrow \ 0 = h - \frac{1}{2}gt^2 \\[.5em]&\quad\quad \rightarrow \ h = \frac{1}{2}gt^2 = 4,90 \ m\end{align*}$

con $y(t) = 0$ perché trascorso tale tempo la goccia tocca terra; $y_0 = h$ perché ogni goccia parte da tale altezza; $v_0 = 0$ perché vengono lasciate cadere, senza velocità iniziale; $g=9,81 \ m/s^2$

Dato il rilascio ad intervalli regolari, se dividiamo il tempo di caduta per 5 otteniamo l’intervallo di tempo tra il rilascio di ogni goccia: trascorso un tempo $t$ , la prima goccia è a terra, quindi sono 5 gli intervalli di tempo rimanenti prima che tutte e 6 abbiamo toccato terra.
Per cui l’impianto emette 1 goccia ogni $t/5$ secondi. Lo schema in figura può aiutarti nel ragionamento.

Sapendo ciò, la terza goccia viene rilasciata dopo un tempo $t_3 =(2/5)t$ .
Dalla legge di caduta:

$y(t_3) = h - \frac{1}{2}gt_3^2 = 4,11 \ m$

quindi la distanza dalla bocchetta è di:

$h-y(t_3) = 0,78 \ m$