Moto uniformemente accelerato - 15

Sul moto uniforme ed uniformemente accelerato

Una macchina viaggia su un tratto rettilineo autostrada alla velocità costante di $v = 180 \ km/h$ e sorpassa un’auto dei carabinieri ferma. L’auto dei carabinieri, dopo un tempo di reazione pari a $t = 2,1 \ s$ parte all’inseguimento accelerando uniformemente con un’accelerazione pari ad $a = 2,4 \ m/s^2$

Calcola dopo quanto tempo l’auto dei carabinieri raggiunge la macchina

Soluzione

Notiamo che la macchina si muove di moto rettilineo uniforme, per cui segue la seguente legge oraria:

$x = x_0 + vt$

mentre l’auto dei carabinieri si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato e segue la seguente legge oraria generale:

$x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$

Assumiamo come origine del sistema di riferimento la posizione iniziale dell’auto dei carabinieri ferma. La posizione della macchina rispetto a questa posizione varierà seguendo la legge oraria:

$x_M = vt$

Invece, la posizione dell’auto dei carabinieri varierà seguendo la legge oraria:

$x_A = \frac{1}{2}at^2$

Nel momento in cui l’auto dei carabinieri raggiungerà la macchina le due posizioni $x_A$ ed $x_M$ saranno uguali, per cui possiamo eguagliare i membri di destra rispetto all’uguale:

$vt = \frac{1}{2}at^2$

Ricordiamo che la velocità della macchina deve essere portata in $m/s$ , per cui:

$v = 180 \ km/h = \frac{180}{3,6} \ m/s =50 \ m/s$

Tramite dei semplici passaggi matematici possiamo trovare il tempo $t$ :

$t = \frac{2v}{a} = \frac{2 \cdot 50}{2,4} = 41,7 \ s$

Notiamo che il tempo di reazione dell’auto dei carabinieri deve essere sommato al tempo necessario per raggiungere la macchina, quindi l’auto dei carabinieri impiega in totale

$t_{tot} = 41,7 + 2,1 = 43,8 \ s$

per raggiungere la macchina