Moto circolare uniforme – 6

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Sul moto circolare uniforme di due palline

Una pallina viene lanciata in un circuito circolare di raggio 1,27 \ m con velocità tangenziale iniziale di 8,00 \ m/s. Allo stesso tempo e dalla stessa posizione, una seconda pallina viene lanciata nel senso opposto, con velocità tangenziale 4,00 \ m/s.

  • Calcola le rispettive velocità angolari e dopo quanto tempo si scontrano nel circuito. Assumi il moto sia uniforme nel tempo.

Soluzione

Le rispettive velocità angolari si ricavano immediatamente grazie alle leggi del moto circolare uniforme:

    \begin{align*}\omega &= \frac{v}{r} \\[0.5em]&\rightarrow \ \omega_1 = \frac{v_1}{r} = \frac{8}{1,27} \frac{m}{s}\frac{1}{m} = 6,30 \ \frac{rad}{s} \\[1em]&\rightarrow \ \omega_2 = \frac{v_2}{r} = \frac{4}{1,27} \frac{m}{s}\frac{1}{m} = 3,15 \ \frac{rad}{s}\end{align*}

Possiamo utilizzare la legge oraria del moto circolare uniforme per ricavare il tempo al quale si scontrano. Definiamo t^* il tempo al quale avviene l’urto.

Occorre notare che la somma dei due angoli spazzati deve essere 2\pi (una circonferenza completa), ma uno dei due angoli è spazzato in verso opposto rispetto all’altro:

    \begin{align*}&\theta_1(t^*) = \theta_0 + \omega_1 t^* = 0 + \omega_1 t^* \\[1em]&- \theta_2(t^*) = \theta_0 + \omega_2 t^* = 0 + \omega_2 t^* \\[1em]&\theta_1(t^*) +(-\theta_2(t^*)) = 2\pi \ \rightarrow \omega_1(t^*) + \omega_2(t^*) = 2\pi \\[1em]&\rightarrow t^* = \frac{2\pi}{\omega_1 + \omega_2} = \frac{2\pi}{6,30 + 3,15} \frac{rad}{rad/s}= 0,665 \ s\end{align*}