Lavoro ed Energia – 27

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Sulla molla ed il giro della morte

Una pallina di massa m = 0,7 \ kg inizialmente ferma viene lanciata da una molla di costante elastica k = 2,1 \cdot 10^2 \ N/m lungo una pista priva di attrito che presenta un tratto circolare (un “giro della morte”) di raggio R = 1,4 \ m come mostrato in figura

  • Calcola la compressione della molla \Delta x necessaria per far compiere un intero giro della morte alla pallina senza staccarsi dalla pista

Soluzione

Dal momento che la guida è priva di attrito e agiscono quindi solo forze conservative possiamo usare il principio di conservazione dell’energia:

    \[E_i = E_f\]

con E_i l’energia meccanica iniziale ed E_f quella finale.

Ricordiamo che l’energia meccanica è definita come la somma dell’energia cinetica K e dell’energia potenziale U.

Inizialmente, la pallina è ferma (K_i = 0) ed ha un’energia potenziale elastica pari ad

    \[U_i = \frac{1}{2}k\Delta x ^2\]

La condizione affinché la pallina non si stacchi mai dalla pista è che nel punto più alto la reazione vincolare \vec{N} sia nulla, per cui possiamo scrivere la risultante della forze:

    \[mg = ma\]

dove l’accelerazione \vec{a} è pari all’accelerazione centripeta, ovvero:

    \[a = \frac{v^2}{R}\]

per cui:

    \[mg = \frac{mv^2}{R} \]

da cui, semplificando le masse e tramite un semplice passaggio matematico possiamo ricavare:

    \[v^2 = gR\]

Dal principio di conservazione applicato tra il punto di partenza della pallina ed il punto più alto della pista otteniamo:

    \[\frac{1}{2}k\Delta x ^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mg2R\]

con 2R il diametro del tratto circolare che è uguale all’altezza della pallina quando questa si trova nel punto più alto:

In questo modo ricaviamo tramite semplici passaggi matematici:

    \[\Delta x = \sqrt{\frac{5mgR}{k}} = 0,48 \ m\]