Lavoro ed Energia – 26

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Sul principio di conservazione dell’energia per un sistema rigido

Un disco omogeneo di raggio R = 0,1 \ m e massa m = 2,1 \ kg è inizialmente fermo su di un piano inclinato ad un’altezza h = 0,5 \ m dal suolo, come mostrato in figura

  • Calcola la velocità del centro del disco quando questo è arrivato al livello del suolo

[Suggerimento: Assumi che il disco rotoli senza strisciare, ovvero siamo in presenza di un rotolamento puro!]

Soluzione

Innanzitutto, osserviamo che nel moto di rotolamento puro (detto anche rotolamento perfetto) l’energia totale si conserva perché le forze di attrito non compiono lavoro sull’oggetto. Possiamo quindi sfruttare il principio di conservazione dell’energia meccanica per cui:

    \[E_i = E_f\]

Nel nostro caso il corpo è inizialmente fermo, per cui sia la velocità del centro del disco v che la velocità angolare \omega sono uguali a zero e l’energia meccanica sarà pari solamente all’energia potenziale gravitazionale:

    \[E_i = U_i = mgh\]

Una volta sceso lungo il piano inclinato il disco avrà un’energia potenziale gravitazionale finale pari a zero ma avrà acquisito un’energia cinetica pari a:

    \[E_f = K_f = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2\]

dove I è il momento di inerzia del disco rispetto all’asse di rotazione passante per il centro e vale:

    \[I = \frac{1}{2}mR^2\]

Uguagliando l’energia meccanica iniziale e finale otteniamo:

    \[mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\frac{1}{2}mR^2\omega^2\]

Dal momento che abbiamo a che fare con un rotolamento puro (o perfetto) vale la seguente relazione:

    \[v = \omega R\]

ovvero:

    \[\omega = \frac{v}{R}\]

per cui possiamo sostituire:

    \[mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mR^2\bigg(\frac{v}{R}\bigg)^2\]

e tramite semplici passaggi matematici ottenere:

    \[v = \sqrt{\frac{4gh}{3}} = 2,6 \ m/s\]