Gravitazione – Soluzione – 2

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Sul periodo di rivoluzione di Giove

Giove ha un periodo di rivoluzione intorno al Sole pari a 12 anni.

  • Calcola la distanza media di Giove dal Sole

[Suggerimento: La massa di Giove è M_G = 1,898 \times10^{27} \, kg, la massa del Sole è M_S = 1,989 \times 10^{30} \, kg]

Soluzione

La forza gravitazionale tra il Sole e Giove è:

    \begin{align*}F_{grav} = G\frac{M_GM_S}{d_{G-S}^2}\end{align*}

dove G = 6,673 \times10^{-11} \, Nm^2/kg^2 è la costante gravitazionale, M_G = 1,898 \times 10^{27} \, kg è la massa di Giove, M_S = 1,989 \times 10^{30} \, kg è la masse del Sole e d_{G-S} è la distanza media di Giove dal Sole.

Dal momento che Giove è in rotazione intorno al Sole risentirà di una forza centripeta diretta come la forza di attrazione gravitazionale ma in verso opposto:

    \begin{align*}F_{grav} - F_{centr} = 0\end{align*}

Ricordando che:

    \begin{align*}F_{centr} = \frac{M_Gv^2}{d_{G-S}}\end{align*}

otteniamo:

(1)   \begin{align*}G\frac{M_GM_S}{d_{G-S}^2} = \frac{M_Gv^2}{d_{G-S}}\end{align*}

Il periodo di rivoluzione T è definito come:

    \begin{align*}T = \frac{2\pi}{\omega}\end{align*}

dove

    \begin{align*}\omega = \frac{v}{d_{G-S}}\end{align*}

Sostituendo si ottiene infine:

    \begin{align*}d_{G-S} = \sqrt[3]{\frac{GM_ST^2}{4\pi^2}}\end{align*}

Ricordiamo che è necessario convertire il periodo T da anni a secondi:

    \begin{align*}T = 12 * 365 * 24 * 3600 = 3,78 \times 10^8 \, s\end{align*}

da cui:

    \begin{align*}d_{G-S} = \sqrt[3]{\frac{GM_ST^2}{4\pi^2}} = 7,83 \times10^8 \, km\end{align*}