Primo Principio della Termodinamica – 12

12

Sul gas all’interno di un contenitore adiabatico

All’interno di un contenitore adiabatico diviso a metà da un pistone mobile è contenuto un gas perfetto monoatomico, come mostrato in figura. Ciascuna metà contiene inizialmente n = 1 mole di gas perfetto ed il volume iniziale è V_{A,1} = V_{A,2} = 2,50 \ m^3 alla temperatura T_{A,1} = T_{A,2} = T = 400 \ K

Successivamente, il pistone viene spostato fino a quando V_{B,2} = 3V_{B,1}, come mostrato in figura:

  • Calcola il lavoro totale \mathcal{L}

Soluzione

Dal momento che il gas è contenuto in un contenitore adiabatico il calore scambiato con l’esterno è nullo:

    \[Q = 0\]

per cui, per il Primo Principio della Termodinamica:

    \[\mathcal{L} = - \Delta U = -nc_v(T_{B,1} - T) - nc_v(T_{B,2} - T)\]

Inoltre, notiamo che se V_{B,2} = 3V_{B,1} allora:

    \[V_{B,1} = \frac{1}{4}(V_{A,1} + V_{A,2}) = 1,25 \ m^3\]

e

    \[V_{B,2} = \frac{3}{4}(V_{A,1} + V_{A,2}) = 3,75 \ m^3\]

Per calcolare il lavoro è necessario quindi calcolare le temperature T_{B,1} e T_{B,2}. Per fare ciò notiamo che il gas contenuto a sinistra subisce un’espansione adiabatica, mentre il gas contenuto a destra subisce una compressione adiabatica, per cui:

    \[TV_{A,1}^{\gamma -1} = T_{B,1}V_{B,1}^{\gamma -1}\]

Quindi:

    \[T_{B,1} = T\bigg(\frac{V_{A,1}}{V_{B,1}}\bigg)^{\gamma -1} = 635 \ K \]

Invece, per il gas contenuto a sinistra otteniamo:

    \[TV_{A,2}^{\gamma -1} = T_{B,2}V_{B,2}^{\gamma -1}\]

Quindi:

    \[T_{B,2} = T\bigg(\frac{V_{A,2}}{V_{B,2}}\bigg)^{\gamma -1} = 305 \ K \]

Quindi, il lavoro totale sarà:

    \[\mathcal{L} = -nc_v(T_{B,1} - T) - nc_v(T_{B,2} - T) = -1,75 \cdot 10^3 \ J\]