Primo Principio della Termodinamica - 11

Sul ciclo termodinamico con un’espansione libera

Considera il ciclo termodinamico mostrato in figura. Inizialmente una mole di gas perfetto monoatomico si trova alla temperatura $T_A = 300 \ K$ ed alla pressione $P_A = 3,50 \cdot 10^3 \ Pa$ . Il gas compie poi un’espansione libera nel vuoto fino a raggiungere lo stato $B$ ed in seguito viene compresso adiabaticamente fino a raggiungere lo stato $C$ in cui $P_C = P_A$ . Infine, il gas torna nello stato $A$ tramite una trasformazione isobara. Se il lavoro nella compressione adiabatica per andare dallo stato $B$ allo stato $C$ è, in modulo, pari a $\mathcal{L}_{BC} = 4,60 \cdot 10^3 \ J$

Calcola le coordinate termodinamiche degli stati $A$ , $B$ e $C$

Soluzione

Innanzitutto, calcoliamo il volume dello stato $A$ partendo dall’equazione di stato dei gas perfetti:

$V_A = \frac{nRT_A}{P_A} = 0,71 \ m^3$

Quindi, le coordinate termodinamiche dello stato $A$ sono:

$\begin{align*}\begin{cases}T_A = 300 \ K \\P_A = 3,50 \cdot 10^3 \ PaV_A = 0,71 \ m^3\end{cases}\end{align*}$

Per andare dallo stato $A$ allo stato $B$ il gas compie un’espansione libera. L’espansione libera verifica:

$\begin{align*}\begin{cases}Q_{AB} = 0 \ J \\\mathcal{L}_{AB} = 0 \ J \\\Delta U_{AB} = 0 \ J\end{cases}\end{align*}$

Questo si traduce in:

$T_B = T_A = 300 \ K$

Osserviamo ora che la trasformazione per andare dallo stato $B$ allo stato $C$ è una trasformazione adiabatica, per cui:

$Q_{BC} = 0 \ J$

Ricordando il Primo Principio della Termodinamica, abbiamo quindi:

$\mathcal{L}_{BC} = - \Delta U_{BC}$

e dal momento che il gas viene compresso il lavoro sarà negativo, per cui:

$- 4,60 \cdot 10^3 = - nc_v(T_C - T_B)$

In questo modo possiamo calcolare la temperatura $T_C$ tramite un semplice passaggio matematico:

$T_C = \frac{4,60 \cdot 10^3}{nc_v} + T_B = 670 \ K$

In questo modo possiamo calcolare anche il volume nello stato $C$ :

$V_C = \frac{nRT_C}{P_C} = 1,59 \ m^3$

Quindi, le coordinate termodinamiche dello stato $C$ sono:

$\begin{align*}\begin{cases}T_C = 670 \ K \\P_C = 3,50 \cdot 10^3 \ Pa \\V_C = 1,59 \ m^3\end{cases}\end{align*}$

Infine, possiamo usare la relazione seguente per calcolare il volume nello stato $B$ :

$T_BV_B^{\gamma - 1} = T_CV_C^{\gamma - 1}$

dove $\gamma = 5/3$ per un gas perfetto monoatomico. Per cui:

$V_B = \bigg(\frac{T_C}{T_B}\bigg)^{\tfrac{1}{\gamma - 1}}V_C = 5,31 \ m^3$

La pressione nello stato $B$ sarà dunque:

$P_B = \frac{nRT_B}{V_B} = 0,47 \cdot 10^3 \ Pa$

Quindi, le coordinate termodinamiche dello stato $C$ sono:

$\begin{align*}\begin{cases}T_B = 300 \ K \\P_B = 0,47 \cdot 10^3 \ Pa \\V_B = 5,31 \ m^3\end{cases}\end{align*}$