Forze apparenti – 9

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Sulla forza apparente in un sistema composto da due casse

Consideriamo una cassa di massa m = 2,0 \ kg poggiata sopra una cassa di massa M = 9,0 \ kg libera di scivolare senza attrito sopra un piano orizzontale. Tra la cassa di massa m e la cassa di massa M è presente attrito con coefficiente di attrito dinamico pari a \mu_d. Come mostrato in figura, la cassa più piccola si trova ad un’estremità della cassa più grande. Se, dopo aver applicato una forza F = 10 \ N diretta come in figura, la cassa di massa m si muove con accelerazione costante a_m = 1,2 \ m/s^2

  • Calcola il valore del coefficiente di attrito dinamico \mu_d

Soluzione

Innanzitutto, per risolvere questo problema occorre prima di tutto ragionare separatamente sulle due casse. Consideriamo un sistema di riferimento esterno, allora il sistema formato dalle due casse sarà soggetto alle seguenti forze disegnate in figura:

La risultante delle forze lungo l’asse del moto, ovvero l’asse x sarà dunque:

    \[F - \mu_dN_m = Ma_M\]

dove la reazione vincolare N_m si ottiene dalla risultante delle forze lungo l’asse y per la cassa di massa m:

    \[N_m = mg\]

per cui, l’accelerazione sarà:

    \[a_M = \frac{F}{M} - \mu_d\frac{m}{M}g\]

Scegliamo ora un sistema di riferimento solidale con la cassa di massa M, in cui le forze che entrano in gioco sono le seguenti mostrate in figura:

La risultante delle forze lungo l’asse x è:

    \[F_{attr} - F_{app} = ma_m\]

Esplicitiamo le forze appena scritte, ricordando che, come abbiamo visto, la reazione vincolare normale è:

    \[N_m = mg\]

Quindi:

    \[\mu_dmg - ma_M = ma_m\]

Sostituiamo l’espressione di a_M trovata in precedenza:

    \[\mu_dmg - m\bigg(\frac{F}{M} - \mu_d\frac{m}{M}g\bigg) = ma_m\]

Tramite un semplice passaggio matematico possiamo quindi ottenere:

    \[\mu_d = \frac{a_m + \dfrac{F}{M}}{g+g\dfrac{m}{M}} = 0,2\]