Fluidi – 12

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Sulla forza di Archimede in un recipiente

Un cubo di lato L = 15 \ cm e massa m = 3,2 \ kg galleggia in acqua dolce (d_w = 1000 \ kg/m^3) all’interno di un recipiente. Nel recipiente viene poi versato dell’olio d’oliva (d_o = 916 \ kg/m^3) in modo tale che il cilindro sia coperto di olio e solo una piccola parte di volume sia immersa in acqua, come mostrato in figura:

forza di Archimede
  • Calcola il volume del cubo immerso in acqua

Soluzione

Prima di tutto osserviamo che se il cubo è in equilibrio allora la sua forza peso è uguale in modulo alla forza di Archimede (o forza di galleggiamento) esercitata sia dall’acqua che dell’olio.

La forza peso del cubo è:

    \[P = mg\]

La forza di Archimede esercitata dall’olio è:

    \[F_{o} = d_oL^2(L-x)g\]

dove L^2(L-x) è il volume immerso nell’acqua. La forza di Archimede esercitata dall’acqua è:

    \[F_{w} = d_wL^2xg\]

Uguagliamo la forza peso alle due forze di galleggiamento:

    \[mg = d_oL^2(L-x)g + d_wL^2xg\]

da cui otteniamo x:

    \[x = \frac{m - d_oL^3}{L^2(d_w - d_0)} = 5,7 \ cm\]

da cui il volume immerso in acqua è:

    \[V = L^2x = 1,3 \cdot 10^{-3} \ m^3\]