Dilatazione termica - 8

Sulla dilatazione termica di una sfera

Una sfera di piombo $(\lambda = 29 \times 10^{-6} \ ^\circ C^{-1})$ di raggio $r = 2,5 \ cm$ si trova alla temperatura iniziale $T_i = 18 \ ^\circ C$ . Se, dopo essere stata scaldata, il diametro aumenta di $0,5 \ cm$

Calcola la temperatura finale $T_f$

Soluzione

Per risolvere il problema dobbiamo sfruttare la formula formula seguente:

$V = V_0(1 + \beta \Delta T) = V_0 + V_0\beta(T_f - T_i)$

dove $\beta = 3\lambda$ , $V$ è il volume finale della sfera e $V_0$ il volume iniziale.

Per quanto riguarda il volume iniziale, sappiamo che:

$V_0 = \frac{4}{3}\pi r^3 = 65 \ cm^3$

Per calcolare il volume finale, notiamo che il diametro è aumentato di $x = 0,5 \ mm$ , quindi:

$d_f = d_i + x$

Dal diametro finale ci ricaviamo il raggio finale:

$r_f = \frac{d_f}{2}$

da cui poi otteniamo il volume finale:

$V = \frac{4}{3}\pi r_f^3 = 67 \ cm^3$

La temperatura finale sarò dunque:

$T_f = T_i + \frac{V-V_0}{V_0\beta} = 3,7 \times 10^2 \ ^\circ C$