Fune, tensione e carrucola – 6

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Sulla carrucola e l’attrito dinamico

Consideriamo la figura del problema precedente ed assumiamo che m_1 = 3,0 \ kg ed m_2 = 8,0 \ kg. Sia \mu_d = 0,2 il coefficiente di attrito dinamico

  • Calcolare il valore dell’accelerazione a delle due casse

Soluzione

Consideriamo lo stesso sistema di riferimento scelto nel problema (5):

Le forze che agiscono sulle due casse saranno:

a risultante delle forze per la cassa di massa m_1 è:

    \begin{align*}& \vec{F}_a + \vec{P}_1 + \vec{N}_1 + \vec{T}_1 = m_1a_1\end{align*}

La risultante delle forze per la cassa di massa m_2 è:

    \begin{align*}& \vec{T}_2 + \vec{P}_2 = m_2a_2\end{align*}

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno – se ha verso opposto

Per la cassa di massa m_1 abbiamo:

(1)   \begin{align*}& (x): -F_a + T_1 = m_1a_1\\& (y): N_1 - P_1 = 0 \end{align*}

Per la cassa di massa m_2 abbiamo:

(2)   \begin{align*}& (y): T_2 - P_2 = m_2a_2 \end{align*}

Le tensioni agli estremi della fune tra m_1 ed m_2 sono identiche, per cui:

    \begin{align*}T_1 = T_2 = T\\\end{align*}

Inoltre, dal momento che le due casse si muovono con la stessa accelerazione:

    \begin{align*} a_2 = - a_1\end{align*}

Esplicitiamo le espressioni delle forze in (1), (2) e mettiamo a sistema

Per la cassa di massa m_1 abbiamo:

    \begin{align*}\begin{cases} -\mu_dN_1 + T = m_1a\\ N_1 = m_1g \end{cases}\end{align*}

Sostituendo N_1:

(3)   \begin{align*}\begin{cases}-\mu_dm_1g + T = m_1a\\N_1 = m_1g\end{cases} \end{align*}

Per la cassa di massa m_2 abbiamo:

(4)   \begin{align*}T - m_2g = - m_2a \end{align*}

Mettiamo a sistema le espressioni trovate in (3) e (4):

    \begin{align*}\begin{cases}-\mu_dm_1g + T = m_1a\\T - m_2g = - m_2a\end{cases} \end{align*}

Sostituendo T:

    \begin{align*}\begin{cases}-\mu_dm_1g + m_2g - m_2a = m_1a\\T = m_2g - m_2a\end{cases} \end{align*}

da cui:

    \begin{align*} a = \frac{m_2g-\mu_dm_1g}{m_1+m_2} = 6,6 \ m/s^2\end{align*}