Fune, tensione e carrucola – 10

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Sul calcolo del coefficiente di attrito statico per un sistema di tre casse

Assumiamo che nel problema precedente la cassa m_1 si trovi su piano orizzontale scabro e che la cassa di massa m_3 venga sostituita da una nuova cassa di massa m_3 = 6,0 \ kg.

  • Affinché il sistema rimanga fermo, quanto deve valere il coefficiente di attrito statico \mu_s?

Soluzione

Consideriamo lo stesso sistema di riferimento del problema precedente:

In presenza di attrito le forze che agiscono sulle tre casse sono:

La risultante delle forze per la cassa di massa m_1 è:

    \begin{align*}& \vec{T}_{13} + \vec{P}_1 + \vec{N}_1 + \vec{T}_{12} + \vec{F}_a = 0\end{align*}

La risultante delle forze per la cassa di massa m_2 è:

    \begin{align*}& \vec{T}_{21} + \vec{P}_2 = 0\end{align*}

La risultante delle forze per la cassa di massa m_3 è:

    \begin{align*}& \vec{T}_{31} + \vec{P}_3 = 0\end{align*}

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno – se ha verso opposto

Per la cassa di massa m_1 abbiamo:

(1)   \begin{align*}& (x): - T_{13} + T_{12} - F_a = 0\\& (y): N_1 - P_1 = 0 \end{align*}

Per la cassa di massa m_2 abbiamo:

(2)   \begin{align*}& (y): T_{21} - P_2 = 0 \end{align*}

Per la cassa di massa m_3 abbiamo:

(3)   \begin{align*}& (y): T_{31} - P_3 = 0 \end{align*}

Le tensioni agli estremi della fune tra m_1 ed m_2 sono identiche, per cui:

    \begin{align*}T_{12} = T_{21} = T_1\\\end{align*}

Le tensioni agli estremi della fune tra m_1 ed m_3 sono identiche, per cui:

    \begin{align*}T_{13} = T_{31} = T_2\\\end{align*}

Esplicitiamo le espressioni delle forze in (1), (2) e (3) e mettiamo a sistema

Per la cassa di massa m_1 abbiamo:

    \begin{align*}\begin{cases} - T_2 + T_1 - \mu_sN_1 = 0\\ N_1 = m_1g \end{cases}\end{align*}

Sostituiamo N_1:

    \begin{align*}\begin{cases} - T_2 + T_1 - \mu_sm_1g = 0\\ N_1 = m_1g \end{cases}\end{align*}

Per la cassa di massa m_2 abbiamo:

(4)   \begin{align*}T_1 - m_2g = 0\\\end{align*}

Per la cassa di massa m_3 abbiamo:

(5)   \begin{align*}T_2 - m_3g = 0\\\end{align*}

Mettendo a sistema le equazioni (4), (5) e (6) troviamo:

    \begin{align*}\begin{cases} T_1 - T_2 = \mu_sm_1g\\ T_1 = m_2g\\ T_2 = m_3g\end{cases}\end{align*}

Sostituiamo:

    \begin{align*}\begin{cases} m_2g - m_3g = \mu_sm_1g\\ T_1 = m_2g\\ T_2 = m_3g\end{cases}\end{align*}

da cui:

(6)   \begin{align*}\mu_s = \frac{(m_2 - m_3)g}{m_1g} = 0,5\end{align*}