Fune, tensione e carrucola – 1

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Su un sistema di due casse collegato da una fune ideale

Due casse di massa m_1 = 3 \ kg ed m_2 = 4 \ kg collegate da una fune ideale ed inestensibile sono trainate da una forza F diretta come in figura. La cassa di massa m_1 si trova in una porzione di piano scabro con coefficiente di attrito dinamico \mu_d = 0,2

  • Assumendo che il sistema composto dalle due casse si muova con accelerazione a = 0,5 \ m/s^2, quanto vale l’intensità della forza F

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento opportuno, come quello mostrato in figura:

Disegniamo tutte le forze che agiscono sulle casse:

La risultante delle forze per la cassa di massa m_1 è:

    \begin{align*}& \vec{F}_a + \vec{P}_1 + \vec{N}_1 + \vec{T}_{12} = m_1\vec{a}_1\end{align*}

La risultante delle forze per la cassa di massa m_2 è:

    \begin{align*}& \vec{F} + \vec{P}_2 + \vec{N}_2 + \vec{T}_{21} = m_2\vec{a}_2\end{align*}

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno – se ha verso opposto.

Per la cassa di massa m_1 abbiamo:

(1)   \begin{align*}& (x): - F_a + T_{12} = m_1a_1\\& (y): N_1 - P_1 = 0 \end{align*}

Per la cassa di massa m_2 abbiamo:

(2)   \begin{align*}& (x): + F - T_{21} = m_2a_2\\& (y): N_2 - P_2 = 0 \end{align*}

dove a compare solo nell’equazione lungo x perchè il corpo si muove solo lungo questo asse.

Le tensioni agli estremi della fune sono identiche, per cui:

    \begin{align*}T_{12} = T_{21} = T\\\end{align*}

Dal momento che le due casse si muovono sempre con la stessa accelerazione, vale la relazione:

    \begin{align*} a_1 = a_2 = a\\\end{align*}

Esplicitiamo le espressioni delle forze in (1) ed in (2) e mettiamo a sistema.

Per la cassa di massa m_1 otteniamo:

    \begin{align*}\begin{cases}-\mu_dN_1 + T = m_1a_1\\N_1 = m_1g \end{cases} \end{align*}

Sostituendo N_1 nell’espressione lungo x si ottiene:

(3)   \begin{align*}\begin{cases}-\mu_dm_1g + T = m_1a_1\\N_1 = m_1g \end{cases} \end{align*}

Per la cassa di massa m_2 otteniamo:

(4)   \begin{align*}\begin{cases}F - T = m_2a_2\\N_2 = m_2g \end{cases} \end{align*}

Consideriamo le espressioni lungo x nei sistemi (3) e (4), ottenendo:

    \begin{align*}\begin{cases}-\mu_dm_1g + T = m_1a_1\\F - T = m_2a_2\end{cases} \end{align*}

(5)   \begin{align*}\begin{cases}-\mu_dm_1g + T = m_1a_1\\T = F - m_2a_2\end{cases} \end{align*}

Sostituendo l’espressione di T nella prima equazione del sistema (5) otteniamo:

    \begin{align*}\begin{cases}-\mu_dm_1g + F - m_2a_2 = m_1a_1\\T = F - m_2a_2\end{cases} \end{align*}

Consideriamo la prima espressione del sistema ricordando che le accelerazioni sono uguali, ovvero a_1 = a_2 = a, per cui tramite semplici passaggi matematici otteniamo:

    \begin{align*}& F = (m_1 + m_2)a + \mu_dm_1g\end{align*}

da cui:

    \begin{align*} F = 9,4 \ N \end{align*}