Il pendolo - 1 | GoPhysics

Sul calcolo del periodo di un pendolo

Il pendolo mostrato in figura è formato da una pallina di massa $m = 10 \ kg$ ed un filo ideale di lunghezza $L = 1,5 \ m$ legato al centro della pallina. Ad un certo istante viene spostata la pallina dalla sua posizione di equilibrio e viene poi lasciata oscillare

Calcola il periodo di oscillazione $T$

[Suggerimento: Assumi che le oscillazioni siano piccole]

Soluzione

Innanzitutto, osserviamo che sul pendolo agiscono solo la tensione applicata dal filo sulla pallina e la forza di gravità. Nota bene che per studiare il pendolo, tipicamente, si usa un sistema di riferimento con un asse parallelo al filo ed uno perpendicolare ad esso, come mostrato nella figura seguente in cui sono disegnate anche le forze e le componenti della forza peso:

Consideriamo le forze che agiscono lungo l’asse x:

$P_{\perp} = mg\sin \theta$

Osserviamo la figura seguente:

Tramite semplici relazioni trigonometriche possiamo scrivere:

$L\sin \theta = d$

da cui:

$\sin \theta = \frac{d}{L}$

Se, come suggerito, consideriamo che le oscillazioni siano piccole possiamo approssimare $d$ con la lunghezza dell’arco, ovvero $d \sim s$ per cui:

$P_{\perp} = mg\frac{s}{L}$

Se applichiamo il secondo principio della dinamica ( $F = ma$ ) possiamo scrivere una relazione che lega $P_{\perp}$ all’accelerazione $a$ .

$ma = mg\frac{s}{L}$

Semplifichiamo le masse $m$ ed otteniamo:

$a = \frac{g}{L}s = \omega^2 s$

dove abbiamo chiamato $\frac{g}{L} = \omega^2$ .

L’equazione ottenuta è quindi l’equazione di un moto armonico con pulsazione:

$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$

Il periodo è quindi:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = {2\pi}\sqrt{\frac{L}{g}} = 2,5 \ s$

Il periodo delle oscillazioni non dipende dalla massa della pallina!

Nota bene! Da ora in poi negli esercizi sul pendolo useremo direttamente queste relazioni per il periodo $T$ e la pulsazione $\omega$ senza più derivarle.