Ottica geometrica - 18

Sulla riflessione totale

La fibra ottica mostrata in figura è formata da un materiale con indice di rifrazione $n = 1,5$ . La fibra ottica è lunga $L = 1,6 \m$ e di raggio pari a $d = 9,0 \mu m$ . Se un raggio di luce in aria ( $n_i = 1,0$ ) incide con angolo di incidenza $\theta_i = 45^{\circ}$

Calcola l’angolo $\theta$ formato dal raggio con la normale alla superficie orizzontale
Calcola il numero di riflessioni totali $N$ che subisce il raggio di luce per uscire dalla fibra ottica

Soluzione

Prima di tutto è necessario calcolare l’angolo di rifrazione $\alpha$ mostrato in figura che si ottiene utilizzando la legge di Snell:

$n_i\sin\theta_i = n\sin\alpha$

dove l’indice di rifrazione dell’aria è $n_i = 1,0$ . Quindi, dalla formula inversa otteniamo:

$\alpha = \sin^{-1}\bigg(\frac{\sin\theta_i}{n}\bigg) = 28^{\circ}$

Se consideriamo il triangolo rettangolo (la metà del triangolo isoscele mostrato in figura)

l’angolo $\theta$ è:

$\theta = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 28^{\circ} = 62^{\circ}$

Notiamo come l’angolo dentro la fibra ottica rimane intrappolato all’interno. Infatti, sappiamo che nella superficie di separazione tra un mezzo con indice di rifrazione maggiore (nel nostro caso $n = 1,5$ ) ed uno minore (nel nostro caso l’indice di rifrazione dell’aria $n_i = 1,0$ ) esiste un angolo limite al di sopra del quale si ha riflessione totale:

$\theta_{lim} = \sin^{-1}\bigg(\frac{n_i}{n}\bigg) = 42^{\circ}$

Dal momento che $\theta > \theta_{lim}$ abbiamo una riflessione totale. Per calcolare il numero di riflessioni che compie il raggio prima di uscire dalla fibra dobbiamo calcolare il numero di tratti $x$ mostrati in figura in giallo: