Leggi di Gay-Lussac – 4

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Sulla prima legge di Gay-Lussac per due gas in due recipienti

Due gas incogniti alla stessa temperatura iniziale T_{1,A} = T_{1,B} = T_1 sono contenuti all’interno di due recipienti dotati di pistone mobile e sono liberi di espandersi a pressione costante. Entrambi vengono riscaldati fino a raggiungere la stessa temperatura T_{2,A} = T_{2,B} = T_2. Il gas a sinistra (verde) quadruplica il suo volume mentre il gas a destra (rosso) raggiunge un volume V_{2,B} = 42,2 \ m^3

  • Calcola il volume iniziale del gas B

Soluzione

Per rispondere alla domanda basta ricordare la Prima Legge di Gay-Lussac, che afferma che, a pressione costante, il volume occupato da un gas è direttamente proporzionale alla sua temperatura assoluta (ovvero espressa in Kelvin). In poche parole:

    \[V = \frac{V_0}{T_0}T\]

con V_0 il volume occupato dal gas alla temperatura T_0 = 273 \ K

Il gas A verifica:

    \begin{align*}\begin{cases}V_{1,A} = \dfrac{V_0}{T_0}T_1 \\[0.8em]V_{2,A} = \dfrac{V_0}{T_0}T_2\end{cases}\end{align*}

Sapendo che V_{2,A} = 4V_{1,A} possiamo sostituire nel sistema ed ottenere:

    \begin{align*}\begin{cases}V_{1,A} = \dfrac{V_0}{T_0}T_1 \\[0.8em]4V_{1,A} = \dfrac{V_0}{T_0}T_2\end{cases}\end{align*}

da cui, tramite un semplice passaggio matematico, si ottiene:

    \[T_1 = \frac{T_2}{4}\]

Il gas B verifica:

    \begin{align*}\begin{cases}V_{1,B} = \dfrac{V_0}{T_0}T_1 \\[0.8em]V_{2,B} = \dfrac{V_0}{T_0}T_2\end{cases}\end{align*}

Sostituiamo l’espressione di T_1 nel sistema precedente:

    \begin{align*}\begin{cases}V_{1,B} = \dfrac{V_0}{T_0}\dfrac{T_2}{4} \\[0.8em]V_{2,B} = \dfrac{V_0}{T_0}T_2\end{cases}\end{align*}

Tramite un semplice passaggio matematico possiamo isolare T_2 nelle due equazioni per poi applicare il metodo del confronto:

    \begin{align*}\begin{cases}T_2 = \dfrac{4T_0V_{1,B}}{V_0} \\[0.8em]T_2 = \dfrac{T_0V_{2,B}}{V_0}\end{cases}\end{align*}

Applichiamo il metodo del confronto ed uguagliamo i termini alla destra dell’uguale:

    \[\frac{4T_0V_{1,B}}{V_0} = \frac{T_0V_{2,B}}{V_0}\]

da cui si ottiene:

    \[4V_{1,B} = V_{2,B}\]

Il volume iniziale del gas B vale dunque:

    \[V_{1,B} = \frac{V_{2,B}}{4} = 10,6 \ m^3\]