Lavoro ed Energia - 9

Sull’energia meccanica e le forze non conservative

Una cassa di massa $m = 2,5 \ kg$ viene lanciata dalla base di un piano inclinato di $\theta = 30^\circ$ con velocità iniziale $v_i = 5,0 \ m/s$ . Tra la cassa ed il piano inclinato è presente attrito con coefficiente di attrito dinamico pari a $\mu_d = 0,3$

Calcola a che altezza $h$ si ferma la cassa

Soluzione

Innanzitutto, in presenza di forze non conservative come la forza di attrito, non vale il Principio di Conservazione dell’Energia, ma possiamo scrivere:

$E_f - E_i = \mathcal{L}_{nc}$

ovvero la differenza tra l’energia meccanica finale ed iniziale è pari al lavoro compiuto dalle forze non conservative.

Ricordiamo che:

$E = K + U$

e sostituendo le espressioni dell’energia cinetica e dell’energia potenziale otteniamo:

$\frac{1}{2}mv_f^2 + mgh_f - \frac{1}{2}mv_i^2 - mgh_i = \mathcal{L}_{nc}$

All’istante iniziale la cassa si trova alla base del piano inclinato, per cui $h_i = 0$ , mentre all’istante finale è ferma quindi $v_f = 0$ .

Inoltre, ricordiamo che il lavoro della forza non conservativa è definito come il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento $d$ lungo il piano inclinato, ovvero:

$\mathcal{L}_{nc} = F_{attr}d$

Nel nostro caso possiamo sfruttare la trigonometria per scrivere $d$ in termini dell’altezza finale $h_f$ che viene richiesta dal problema:

Per cui:

$d\sin\theta = h_f$

quindi:

$d = \frac{h_f}{\sin \theta}$

In questo modo l’equazione iniziale diventa:

$mgh_f - \frac{1}{2}mv_i^2 = - F_{attr}\frac{h_f}{\sin \theta}$

dove il segno negativo è dovuto al fatto che lo spostamento della cassa e la forza di attrito hanno versi opposti.

Non ci resta che trovare l’espressione per $F_{attr}$ che possiamo ottenere disegnando le forze che entrano in gioco sulla cassa ed un opportuno sistema di riferimento: