Lavoro ed Energia - 19

Sulla pulsazione di una molla, l’energia meccanica ed il lavoro di una forza non conservativa

Una cassa di massa $m$ poggia su di un piano orizzontale scabro con coefficiente di attrito dinamico tra il piano e la cassa pari a $\mu_d = 0,2$ . La cassa è collegata ad una molla di costante elastica $k$ , come mostrato in figura, inizialmente compressa di $\Delta x = 0,3 \ m$ rispetto alla posizione di equilibrio. Se la cassa, inizialmente ferma, viene lasciata libera di muoversi, raggiunge la posizione di equilibrio con velocità $v = 1,3 \ m/s$

Calcola la pulsazione $\omega$

Soluzione

Dal momento che siamo in presenza di una forza di attrito, ovvero una forza non conservativa, non vale il principio di conservazione dell’energia ma possiamo scrivere la seguente relazione:

$E_f - E_i = \mathcal{L}_{nc}$

dove $\mathcal{L}_{nc}$ è il lavoro delle forze non conservative. Esplicitiamo i termini:

$E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}k\Delta x^2$

dove l’energia cinetica iniziale $K_i$ è nulla perché il corpo è inizialmente fermo, ovvero $v = 0$ . L’energia meccanica finale è :

$E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2}mv^2$

dove l’energia potenziale finale $U_f$ è nulla perché stiamo considerando la molla nella posizione di equilibrio.

Il lavoro della forza di attrito è:

$\mathcal{L} = - F_{attr}\Delta x$

dove il segno “-” è dovuto al fatto che la forza di attrito è opposta allo spostamento della cassa, $\Delta x$ è il tratto che la cassa percorre per arrivare alla posizione di equilibrio ed $F_{attr}$ la possiamo ricavare andando a considerare la figura seguente, in cui sono mostrate le forze che entrano in gioco sulla cassa ed un opportuno sistema di riferimento:

L’espressione della forza di attrito è:

$F_{attr} = \mu_dN$

Per ricavare la reazione vincolare $N$ , consideriamo la risultante delle forze che agiscono lungo l’asse y:

$N = mg$

Sostituiamo il valore di $N$ che abbiamo trovato nell’espressione della forza d’attrito:

$F_{attr} = \mu_dmg$

Per cui, l’espressione da cui siamo partiti diventa:

(1) $\begin{align*} \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}k\Delta x^2 = -\mu_dmg\Delta x\end{align*}$

Ricordiamo che la pulsazione è definita come:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Dal momento che non abbiamo i valori numerici della costante elastica $k$ e della massa $m$ , proviamo ad isolare la quantità $k/m$ nell’espressione (1):

$\frac{k}{m} = \frac{v^2}{\Delta x^2} + \frac{2\mu_dg}{\Delta x}$

La pulsazione sarà dunque:

$\omega = \sqrt{\frac{v^2}{\Delta x^2} + \frac{2\mu_dg}{\Delta x}} = 5,6 \ rad/s$