Lavoro ed Energia - 18

Sul lavoro della forza d’attrito

Una cassa di massa $m = 5,4 \ kg$ viene lanciata su un piano orizzontale scabro e lungo $L = 0,9 \ m$ con velocità iniziale $v_i = 9,4 \ m/s$ . Alla fine del piano orizzontale la cassa sale lungo un piano inclinato di $\theta = 30^\circ$ anch’esso scabro. Sia il piano orizzontale che il piano inclinato hanno un coefficiente di attrito dinamico pari a $\mu_d = 0,2$ .

Calcola il tempo $t$ necessario affinché la cassa si fermi

Soluzione

Per calcolare il tempo totale affinché la cassa si fermi cominciamo con il calcolare quanto tempo impiega per percorrere il tratto orizzontale. In questo caso usiamo la legge delle velocità per un corpo che si muove di moto uniformemente accelerato, per cui:

$v_1 = v_i + a_1t_1$

All’interno di questa equazione non conosciamo né $v_1$ né $a_1$ . Per ricavare l’accelerazione $a_1$ , consideriamo le forze che agiscono sulla cassa ed un opportuno sistema di riferimento, come mostrato in figura:

Consideriamo la risultante delle forze che agiscono lungo l’asse x ed y:

$\begin{align*}\begin{cases} -F_{attr} = ma_1 \\ N = P\end{cases}\end{align*}$

Esplicitiamo le forze:

$\begin{align*}& -\mu_dN = ma_1 \\& N = mg\end{align*}$

Sostituiamo il valore di $N$ che abbiamo trovato nella seconda espressione del sistema all’interno della prima equazione:

$-\mu_dmg = ma_1$

da cui, semplificando $m$ :

$a_1 = -\mu_dg$

La legge delle velocità da cui siamo partiti diventa quindi:

$v_1 = v_0 - \mu_dgt_1$

Per calcolare $v_1$ usiamo la seguente relazione tra l’energia meccanica finale ed iniziale ed il lavoro delle forze non conservative, in questo caso la forza di attrito:

$E_f - E_i = \mathcal{L}_{attr}$

Dal momento che la cassa poggia sul piano orizzontale possiamo assumere che $U_f = U_i = 0$ e scrivere:

$\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = -\mu_dmgL$

ricordando che il lavoro è definito come il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento.

$v_1 = \sqrt{v_i^2 - 2\mu_dgL} = 9,2 \ m/s$

Dalla legge delle velocità ricaviamo $t_1$ :

$t_1 = \frac{v_i - v_1}{\mu_dg} = 0,1 \ s$

Consideriamo ora il tratto che percorre la cassa lungo il piano inclinato. In questo caso la cassa parte con una velocità pari a $v_1$ fino a fermarsi, per cui la legge delle velocità sarà:

$0 = v_1+ a_2t_2$