Lavoro ed Energia - 16

Sul piano inclinato, la carrucola e la conservazione dell’energia meccanica

Due casse di massa $m_1 = 1,5 \ kg$ ed $m_2 = 1,0 \ kg$ sono collegate da una fune ideale come mostrato in figura. La cassa di massa $m_2$ si trova su di un piano inclinato di $\theta = 30^\circ$ con coefficiente di attrito dinamico tra la cassa ed il piano pari a $\mu_d = 0,3$ . Il sistema, inizialmente fermo, viene lasciato libero di muoversi e la cassa di massa $m_1$ scende di un tratto $\Delta h = 1,0 \ m$ .

Calcola la velocità del sistema formato dalle due casse dopo che la cassa di massa $m_1$ scende di $\Delta h$

Soluzione

Notiamo che le casse, inizialmente ferme, iniziano a muoversi per effetto della forza peso. Dal momento che è presente una forza di attrito, ovvero una forza non conservativa, sappiamo che non vale il principio di conservazione dell’energia totale, ma vale la seguente relazione:

(1) $\begin{align*}E_f - E_i = \mathcal{L}_{nc}\end{align*}$

dove $\mathcal{L}_{nc}$ è il lavoro della forza non conservativa, nel nostro caso la forza di attrito.

Esplicitiamo l’energia totale finale ed iniziale ed il lavoro della forza d’attrito, considerando la relazione trigonometrica che lega lo spostamento della cassa di massa $m_2$ con quello della cassa di massa $m_1$ , come mostrato in figura:

$E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2}(m_1 + m_2) v^2 + m_1gh_f + m_2gh_f\sin \theta$

dove $K_f$ è l’energia cinetica finale ed $U_f$ è l’energia potenziale finale del sistema.

$E_i = K_i + U_i = m_1gh_i + m_2gh_i\sin \theta$

dove $K_i = 0$ è l’energia cinetica iniziale che è nulla perché le casse sono inizialmente ferme ed $U_i$ è l’energia potenziale iniziale del sistema.

Ricordiamo che il lavoro è definito come il prodotto scalare tra lo spostamento e la forza, in questo caso la forza d’attrito.

Per quanto riguarda la cassa sul piano inclinato con coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$ , il lavoro è:

$\mathcal{L} = \vec{F}_{attr} \cdot \vec{s} = -\mu_1N\Delta h}$

dove il segno meno “-” è dovuto al fatto che il verso della forza di attrito e dello spostamento $\vec{s}$ sono opposti, come mostrato in figura:

Il fattore $\Delta h$ è il modulo dello spostamento che è esattamente uguale allo spostamento della cassa di massa $m_2$ dato che sono collegati da una fune ideale.

Per calcolare il modulo della reazione vincolare $N$ disegniamo le forze che entrano in gioco sulla cassa di massa $m_1$ ed un opportuno sistema di riferimento:

Notiamo che lungo l’asse y la risultante delle forze verifica:

$N = P_{\perp} = mg\cos \theta$

Sostituendo nell’espressione del lavoro troviamo quindi

$\mathcal{L} = -\mu_1mg\cos \theta \Delta h$

L’espressione (1) sarà quindi:

$\frac{1}{2}(m_1 + m_2) v^2 + m_1gh_f + m_2gh_f\sin \theta - m_1gh_i - m_2gh_i\sin \theta = -\mu_1mg\cos \theta \Delta h$

Riscriviamo l’espressione precedente:

$\frac{1}{2}(m_1 + m_2) v^2 + m_1g(h_f-h_i) + m_2g(h_f-h_i)\sin \theta = -\mu_1mg\cos \theta \Delta h$

Chiamiamo la quantità $h_i - h_f = \Delta h$ :

$\frac{1}{2}(m_1 + m_2) v^2 - m_1g\Delta h - m_2g\Delta h\sin \theta = -\mu_1mg\cos \theta \Delta h$

La velocità sarà dunque:

$v = \sqrt{\frac{2(m_1g\Delta h + m_2g\Delta h\sin \theta -\mu_1mg\cos \theta \Delta h)}{(m_1+m_2)}} = 3,7 \ m/s$