Lavoro ed Energia - 11

Sulla molla e l’energia potenziale elastica

Una molla di costante elastica $k = 5,6 \cdot 10^3 \ N/m$ è compressa di una quantità $x$ rispetto alla posizione di equilibrio. Una cassa di massa $m = 1,5 \ kg$ è a contatto con la molla, come mostrato in figura. Tra la cassa e la molla è presente attrito con coefficiente di attrito dinamico $\mu_d = 0,2$ . All’istante iniziale la cassa viene lasciata andare:

Calcola il valore della compressione $x$ tale che la cassa raggiunga il punto $A$ distante $d = 50 \ cm$

Soluzione

Innanzitutto, in presenza di forze non conservative come la forza di attrito, non vale il Principio di Conservazione dell’Energia, ma possiamo scrivere:

$E_f - E_i = \mathcal{L}_{nc}$

ovvero la differenza tra l’energia meccanica finale ed iniziale è pari al lavoro compiuto dalle forze non conservative.

Ricordiamo che:

$E = K + U$

e sostituendo le espressioni dell’energia cinetica e dell’energia potenziale otteniamo:

$\frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 - \frac{1}{2}kx^2 = \mathcal{L}_{nc}$

Nel nostro caso:

$\begin{align*}& v_f = 0 \\& v_i = 0 \\\end{align*}$

Quindi:

(1) $\begin{align*}- \frac{1}{2}kx^2 = \mathcal{L}_{nc}\end{align*}$

Il lavoro della forza di attrito è:

$\mathcal{L}_{nc} = -F_{attr}d$

dove il segno meno è dovuto al fatto che la forza di attrito e il verso lungo cui si sta muovendo la cassa formano tra loro un angolo $\theta = 180^\circ$ , ovvero hanno verso opposto.

Per ricavare l’espressione della forza di attrito basta disegnare le forze che entrano in gioco sulla cassa una volta che si è staccata dalla molla ed un opportuno sistema di riferimento: