Forza elastica - 21

Sulla molla e l’equilibrio statico

Considera la situazione mostrata in figura, in cui una molla di costante elastica $k$ è vincolata ad una parete mentre l’altra estremità è fissata all’estremo di un’asta omogenea di massa $m = 4,2 \ kg$ e lunghezza $L$ . All’equilibrio, l’asta forma un angolo $\theta = 30^\circ$ rispetto al suolo e la molla è allungata di $x = 2,1 \ m$

Calcola la costante elastica della molla

Soluzione

Se l’asta è in equilibrio vuol dire che la somma dei momenti esercitati dalle forze che agiscono sull’asta è nulla.

Le forze che agiscono sull’asta sono la forza elastica della molla $F_{el}$ e la forza peso dell’asta stessa $P$ .

Ricordiamo che la definizione di momento è:

$M = Fb$

dove $b$ , detto braccio, è la distanza tra il punto di applicazione della forza e l’asse di rotazione. Se osserviamo la seguente figura

Il momento della forza elastica è:

$M_{el} = kxL\sin \theta$

dove, come abbiamo visto negli esercizi sul momento di una forza, il segno è positivo perché la molla induce una rotazione antioraria.

Il momento della forza peso è:

$M_{P} = - mg\frac{L}{2}\cos \theta$

dove il segno è negativo perché la forza peso induce una rotazione oraria ed è concentrata a metà dell’asta nel punto $\frac{L}{2}$ perché l’asta è omogena.

Dal momento che la loro somma è nulla, possiamo scrivere:

$kxL\sin \theta = - mg\frac{L}{2}\cos \theta$

da cui, semplificando $L$ , otteniamo:

$k = \frac{mg\cos \theta}{2x\sin \theta} = 17 \ N/m$