Forza elastica - 19

Sulla molla e le forze apparenti – 1

Un blocco di massa $M = 15 \ kg$ inizia a cadere verso il basso all’istante $t = 0$ . All’interno del blocco è attaccata una molla di costante elastica $k = 18 \ N/m$ collegata ad una pallina di massa $m = 1,2 \ kg$ inizialmente ferma, come mostrato in figura. Se durante la caduta la pallina compie delle oscillazioni

Calcola il periodo di oscillazione della pallina

Soluzione

Notiamo che la forza che agisce sulla pallina è una forza apparente che indicheremo con $F_{app}$ . Disegniamo le forze che agiscono sulla pallina e sul blocco ed un opportuno sistema di riferimento inerziale per il blocco che identificheremo con l’asse $y$ e non inerziale per la pallina che identificheremo con l’asse $y'$ :

La seconda legge di Newton per la pallina verifica:

$mg - ky' - ma = ma'$

dove $y'$ è l’allungamento della molla lungo l’asse $y'$ , $a'$ è l’accelerazione della pallina ed $a$ è l’accelerazione del blocco.

Sfruttando la relazione tra accelerazione e derivata seconda della posizione, ovvero $\dfrac{d^2y'}{dt^2} = a'$ , l’equazione può essere riscritta come:

$\frac{d^2y'}{dt^2} + \frac{k}{m}y' + a -g = 0$

che è l’equazione del moto armonico con pulsazione:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = 3,9 \ rad/s$

Quindi il periodo è:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = 1,6 \ s$