Forza elastica - 18

Sul momento della molla

Un disco di massa $m = 8,5 \ kg$ e raggio $r = 1,2 \ m$ ruota intorno al suo asse posto al centro. Come mostrato in figura, il cilindro è fissato ad una molla di costante elastica $k = 14 \ N/m$ mentre un’asta omogenea di massa $M = 9,7 \ kg$ e lunghezza $L = 2,4 \ m$ ha una delle sue estremità fissate al centro del disco. Il sistema è all’equilibrio e l’asta forma con l’orizzontale un angolo $\theta = 30^\circ$

Calcola l’allungamento della molla $x$

Soluzione

All’equilibrio la somma dei momenti è uguale a zero, per cui calcoliamo i momenti che agiscono sul disco.

Ricordiamo che, in generale, il momento è definito come:

$M = Fb$

dove $F$ è la forza che agisce sul disco e $b$ è il braccio, ovvero la distanza tra il punto di applicazione della forza e l’asse di rotazione. Nel nostro caso le forze che agiscono sul disco sono la forza elastica della molla e la forza peso dell’asta. Per cui:

$M_{el} = F_{el}r = kxr$

Nel caso della forza peso, dal momento che l’asta è omogenea possiamo assumere che tutta la massa sia concentrata nel punto medio dell’asta distante $\frac{L}{2}\cos \theta$ dal centro del disco, come mostrato in figura:

Per cui:

$M_{P} = mg\frac{L}{2}\cos \theta$

All’equilibrio:

$kxr = mg\frac{L}{2}\cos \theta$

ottenendo infine:

$x = \frac{mg\frac{L}{2}\cos \theta}{kr} = 5,2 \ m$