Forza elastica – 16

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Sul periodo di oscillazione di un sistema di due corpi

Due casse di masse m_1 = m_2 = 4,3 \ kg sono collegate da una fune inestensibile e poggiate su di un piano orizzontale liscio, come mostrato in figura. La cassa di massa m_1 è fissata ad una molla di costante elastica k = 25 \ N/m , mentre alla cassa di massa m_2 è applicata una forza F = 10 \ N. All’istante iniziale la lunghezza della molla è x_0

  • Calcola il periodo di oscillazione del sistema assumendo che la corda tra le due casse rimanga sempre tesa

Soluzione

Disegniamo le forze che agiscono sui due corpi ed un opportuno sistema di riferimento:

La risultante delle forze lungo l’asse x ed y per la cassa di massa m_1 è:

    \begin{align*}\begin{cases}-F_{el} + T = m_1a \\N_1 - P_1 = 0\end{cases}\end{align*}

Per la cassa di massa m_2 abbiamo:

    \begin{align*}\begin{cases}F - T = m_2a \\N_2 - P_2 = 0\end{cases}\end{align*}

dove le accelerazioni delle due casse sono identiche, ovvero a_1 = a_2 = a. Esplicitiamo le forze in gioco:

    \begin{align*}& F_{el} = kx \\& P_1 = m_1g \\& P_2 = m_2g\end{align*}

Sostituiamo nelle due equazioni lungo l’asse x per i due corpi ottenendo:

    \begin{align*}& -kx + T = m_1a \\&F - T = m_2a\end{align*}

Se sommiamo le due espressioni possiamo eliminare la tensione T per cui:

    \[-kx + F = (m_1 + m_2)a = 2ma\]

ovvero:

    \[a = -\frac{k}{2m}x + \frac{F}{2m}\]

dove ricordiamo che m_1 = m_2 = m. L’equazione appena ottenuta è quella di un moto armonico con pulsazione:

    \[\omega^2 = \frac{k}{2m}\]

da cui otteniamo:

    \[\omega = \sqrt{\frac{k}{2m}} = 1,7 \ rad/s\]

Il periodo di oscillazione è:

    \[T = \frac{2\pi}{\omega} = 3,7 \ s\]