Forza elastica – 15

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Sulla compressione massima della molla

Considera la situazione mostrata in figura in cui una cassa di massa m = 5,4 \ kg è collegata ad una molla di costante elastica k = 4,3 \cdot 10^2 \ N/m. La cassa è poggiata su un piano orizzontale scabro con coefficiente di attrito dinamico tra la cassa ed il piano pari a \mu_d = 0,2. Se, inizialmente, la cassa si trova nella posizione di equilibrio e viene lanciata con velocità v_0 = 2,5 \ m/s nel verso mostrato in figura:

  • Calcola la massima compressione della molla

Soluzione

Nel momento in cui la molla raggiunge la massima compressione la velocità del corpo è nulla! Notiamo che sulla cassa entrano in gioco due forze: la forza elastica esercitata (forza conservativa) e la forza di attrito (forza non conservativa). Quindi, dal momento siamo in presenza di una forza non conservativa, l’energia meccanica non si conserva e vale la relazione:

(1)   \begin{align*}E_f - E_i = \mathcal{L}\end{align*}

ovvero la differenza tra l’energia totale finale E_f ed iniziale E_i è uguale al lavoro delle forze non conservative. Nel nostro caso:

    \[E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv_0^2\]

con K_i= \frac{1}{2}mv_0^2 l’energia cinetica iniziale ed U_i = 0 l’energia potenziale iniziale.

    \[E_f = \frac{1}{2}kx^2\]

con K_f= 0 l’energia cinetica finale (il corpo è fermo alla massima compressione) ed U_f = 0 l’energia potenziale finale (con x il valore della compressione della molla).

Il lavoro della forza di attrito \mahtcal{L} è negativo e pari a:

    \[\mathcal{L} = -\mu_dN = - \mu_dmg\]

dove abbiamo sfrutta la relazione:

    \[N - P = N - mg = 0\]

che si ricava facilmente se andiamo a considerare le forze che agiscono sulla cassa:

Sostituendo quindi nella relazione (1) si ottiene:

    \[\frac{1}{2}kx^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = - \mu_dmg\]

da cui:

    \[x = \sqrt{\frac{mv_0^2}{k} - \frac{2\mu_dmg}{k}} = 0,17 \ m\]