Forza elastica - 14

Sulla velocità e sull’accelerazione massima

Una cassa di massa $m = 10 \ kg$ è collegata ad una molla di costante elastica $k = 10 \ N/m$ e poggiata su di un piano orizzontale liscio. La molla viene allungata di $x = 10 \ cm$ rispetto alla sua posizione di equilibrio, come mostrato in figura, e poi lasciata andare

Calcola la pulsazione, il periodo, la frequenza e l’ampiezza della molla
Calcola la velocità massima della cassa
Calcola l’accelerazione massima della cassa

Soluzione

La pulsazione $\omega$ si ottiene dalla relazione:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = 1,0 \ rad/s$

Il periodo $T$ si ottiene dalla relazione:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = 6,3 \ s$

La frequenza $f$ si ottiene dalla relazione:

$f = \frac{1}{T} = 0,16 \ Hz$

L’ampiezza $A$ è la distanza tra la posizione di equilibrio e la posizione di massimo allungamento o massima compressione. Nel nostro caso la posizione di massimo allungamento è $x = 10 \ cm$ , quindi:

$A = 0,1 \ m$

Per calcolare la velocità massima basta ricordarsi la seguente relazione:

$v_{max} = \omega A = 0,1 \ m/s$

Nota bene! Per chi fosse interessato, questa formula si ottiene dalla derivata della legge oraria del moto armonico. Infatti, la legge oraria nel moto armonico (ovvero il moto della molla) è:

$x(t) = A\cos (\omega t)$

La derivata di $x(t)$ è:

$\frac{dx(t)}{dt} = v(t) = -A\omega \sin (\omega t)$

Il massimo si ottiene per $\sin (\omega t) = - 1$ , per cui:

$v_{max} = \omega A$

Per calcolare l’accelerazione massima basta ricordarsi la seguente relazione:

$a_{max} = \omega^2 A = 0,1 \ m/s^2$

Nota bene! Per chi fosse interessato, questa formula si ottiene dalla derivata seconda della legge oraria del moto armonico, ovvero dalla derivata prima della velocità che abbiamo ricavato precedentemente:

La derivata di $v(t)$ è:

$\frac{dv(t)}{dt} = a(t) = - A\omega^2 \cos (\omega t)$

Il massimo si ottiene per $\cos (\omega t) = - 1$ , per cui:

$a_{max} = \omega^2 A$