Energia potenziale elettrica - 8

Sull’urto di due particelle cariche

Due sfere metalliche di massa $m_1= 13 \ g$ ed $m_2 = 21 \ g$ , raggio $r_1 = r_2 = r = 3,4 \ cm$ e carica $q_1 = 1,5 \ \mu C$ e $q_2 = - 1,5 \ \mu C$ si trovano ferme ad una distanza $d = 42 \ cm$

Calcola la velocità con cui si urtano

Soluzione

Dal momento che non sono presenti forze dissipative, per il principio di conservazione della quantità di moto possiamo scrivere:

$m_1\vec{v}_{1,i} + m_2\vec{v}_{2,i} = m_1\vec{v}_{1,f} + m_2\vec{v}_{2,f}$

dove $\vec{v}_{1,i}$ e $\vec{v}_{2,i}$ sono le velocità iniziali delle due sfere mentre $\vec{v}_{1,f}$ e $\vec{v}_{2,f}$ sono le velocità finali con cui si urtano.

Dato che le due sfere sono inizialmente ferme:

$v_{1,i} = v_{2,i} = 0$

per cui:

$0 = m_1v_{1,f} - m_2v_{2,f}$

dove il segno meno $-$ è dovuto al fatto che le due sfere si stanno muovendo una contro l’altra, ovvero in direzioni opposte.

Possiamo quindi ottenere dalla relazione precedente la seguente espressione:

$v_{1,f} = \frac{m_2}{m_1}v_{2,f}$

Per il principio di conservazione dell’energia, in assenza di forze non conservative possiamo scrivere:

$K_f + U_f = K_i + U_i$

dove l’energia cinetica iniziale è $K_i = 0$ dato che le sfere sono ferme e l’energia potenziale elettrica iniziale è:

$U_i = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q_1q_2}{d}$

con $d$ la distanza iniziale.

Nel momento in cui le due sfere si urtano la distanza dei loro centri è pari alla somma dei loro raggi, infatti ci troviamo nella situazione mostrata in figura:

per cui, dato che $r_1 = r_2 = r$ possiamo scrivere:

$\begin{align*}& K_f = \frac{1}{2}m_1v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2,f}^2 \\[0.5em]& U_f = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q_1q_2}{2r}\end{align*}$

Sostituendo l’espressione trovata in precedenza:

$v_{1,f} = \frac{m_2}{m_1}v_{2,f}$

all’interno di $K_f$ otteniamo:

$\frac{1}{2}m_1\bigg(\frac{m_2}{m_1}v_{2,f}\bigg)^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2,f}^2 = \frac{q_1q_2}{4\pi \epsilon_0}\bigg(\frac{1}{d} - \frac{1}{2r}\bigg)$

da cui, dopo alcuni semplici passaggi matematici, otteniamo:

$\begin{align*}v_{2,f} &= \sqrt{\bigg[\frac{m_1q_1q_2}{2\pi \epsilon_0 m_2(m_1 + m_2)}\bigg]\bigg(\frac{1}{d} - \frac{1}{2r}\bigg)} \\[0.5em]&= 5,5 \cdot 10^{-3} \ m/s\end{align*}$

La velocità della prima sfera si ottiene da:

$v_{1,f} = \frac{m_2}{m_1}v_{2,f} = 8,9 \cdot 10^{-3} \ m/s$