Energia potenziale elettrica – 10

10

Sulla conservazione della quantità di moto di due sfere cariche

Una sfera di massa m_1 = 2,0 \cdot 10^{-3} \ kg e carica q_1 = 5,0 \ \mu C si trova ad una distanza iniziale d da una seconda sfera metallica di massa m_2 = 6,0 \cdot 10^{-3} \ kg con carica q_2 = 5,0 \ \mu C. Le sfere vengono lasciate libere di muoversi e quando si trovano ad una distanza pari a x = 0,3 \ m, la sfera di massa maggiore si trova ad una velocità di v_{2,f} = 230 \ m/s

  • Calcola la distanza iniziale d

Soluzione

In assenza di forze dissipative sfruttiamo il principio di conservazione della quantità di moto:

    \[m_1\vec{v}_{1,i} + m_2\vec{v}_{2,i} = m_1\vec{v}_{1,f} + m_2\vec{v}_{2,f}\]

dove \vec{v}_{1,i} e \vec{v}_{2,i} sono le velocità iniziali delle due sfere mentre \vec{v}_{1,f} e \vec{v}_{2,f} sono le velocità finali quando si trovano ad una distanza x = 0,3 \ m.

Dato che le due sfere sono inizialmente ferme:

    \[v_{1,i} = v_{2,i} = 0\]

per cui:

    \[0 = m_1v_{1,f} - m_2v_{2,f}\]

dove il segno meno - è dovuto al fatto che le due sfere si stanno muovendo in direzioni opposte dato che sono entrambe positive e quindi si respingono.

Possiamo quindi ottenere dalla relazione precedente la seguente espressione:

    \[v_{1,f} = \frac{m_2}{m_1}v_{2,f}\]

Per il principio di conservazione dell’energia, in assenza di forze non conservative possiamo scrivere:

    \[K_f + U_f = K_i + U_i\]

dove l’energia cinetica iniziale è K_i = 0 dato che le sfere sono ferme e l’energia potenziale elettrica iniziale è:

    \[U_i = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q_1q_2}{d}\]

con d la distanza iniziale.

L’energia cinetica e l’energia potenziale finale sono invece:

    \begin{align*}& K_f = \frac{1}{2}m_1v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2,f}^2 \\[0.5em]& U_f = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q_1q_2}{x}\end{align*}

Sostituendo l’espressione trovata in precedenza:

    \[v_{1,f} = \frac{m_2}{m_1}v_{2,f}\]

all’interno di K_f otteniamo:

    \[\frac{1}{2}m_1\bigg(\frac{m_2}{m_1}v_{2,f}\bigg)^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2,f}^2 = \frac{q_1q_2}{4\pi \epsilon_0}\bigg(\frac{1}{d} - \frac{1}{x}\bigg)\]

da cui, dopo alcuni semplici passaggi matematici, otteniamo:

    \begin{align*}d &= \frac{q_1q_2m_1x}{2 \pi \epsilon_0 m_2 x v_{2,f}^2(m_1+m_2) + q_1q_2m_1} \\[0.5em]&= 3,5 \cdot 10^{-4} \ m\end{align*}