Dinamica dei sistemi – 17

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Sul rotolamento perfetto ed il calcolo del coefficiente di attrito dinamico

Considera la figura seguente in cui una cassa di massa $m = 2,1 \ kg$ è collegata tramite una fune ideale ad una sfera di massa $M = 1,1 \ kg$ e raggio $R = 0,6 \ m$ . Sulla cassa è applicata una forza di modulo $F = 3,0 \ N$ diretta come in figura ed il sistema poggia su un piano orizzontale in cui è presente attrito. Sia la cassa che la sfera si muovono con velocità costante

Calcola il coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$

[Suggerimento: La sfera rotola senza strisciare (puro rotolamento)]

Soluzione

Osserviamo che se la cassa e la sfera si muovono a velocità costante possiamo scrivere:

$a = 0$

dal momento che, per definizione:

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$

Di conseguenza, se consideriamo l’equazione dei momenti per la sfera:

$RF_{attr,sfera} = I\alpha = 0$

dal momento che, nel rotolamento perfetto vale $a = \alpha R$ . In questo modo otteniamo che:

$F_{attr,sfera} = 0$

Inoltre, se disegniamo le forze che agiscono sulla sfera ed un opportuno sistema di riferimento

possiamo notare che la risultante delle forze lungo la direzione del moto (l’asse x) verifica:

$T - F_{attr,sfera} = 0$

In questo modo otteniamo che:

$T = F_{attr,sfera} = 0$

Consideriamo ora le forze che agiscono sulla cassa:

In questo caso le equazioni lungo gli assi sono:

$\begin{align*}\begin{cases}F - T - F_{attr} = 0 \\N = mg\end{cases}\end{align*}$

Ricordiamo la definizione della forza di attrito:

$F_{attr} = \mu_dN$

e sostituiamo l’espressione della reazione vincolare $N$ nella prima espressione:

$F = T + \mu_dmg$

ricordiamo che, la tensione ai capi della fune è uguale e quindi possiamo sostituire il valore $T = 0$ che abbiamo trovato nel caso della sfera, quindi:

$F = \mu_dmg$

da cui:

$\mu_d = \frac{F}{mg} = 0,15$