Dinamica dei sistemi – 16

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Sulla sfera ed il doppio piano inclinato

Un disco omogeneo di massa M = 1,2 \ kg e raggio R è collegato tramite una fune ideale ad una cassa di massa m = 4,2 \ kg, come mostrato in figura. Il sistema poggia su un doppio piano inclinato di angoli \beta = 30^\circ e \theta = 45^\circ. Assumendo che il sistema sia di puro rotolamento

  • Calcola il modulo della forza di attrito F_{attr} che agisce sul disco

Soluzione

Innanzitutto disegniamo le forze che agiscono sulla cassa ed un opportuno sistema di riferimento:

La risultante delle forze lungo l’asse x è:

    \[P_{\parallel} - T = ma\]

Esplicitiamo la componente parallela della forza peso:

(1)   \begin{align*}mg\sin \theta - T = ma\end{align*}

Consideriamo ora il disco e scriviamo l’equazione dei momenti rispetto ad un asse passante per il punto di contatto P tra il piano inclinato ed il disco:

Come osserviamo dalla figura, in questo caso la tensione \vec{T} favorisce la rotazione del disco mentre la componente parallela della forza peso P_{\parallel} si oppone alla rotazione.

L’equazione dei momenti diventa:

    \[R(T-Mg\sin \beta) = I_P\alpha\]

dove I_P è il momento di inerzia rispetto all’asse passante per il punto di contatto tra il piano inclinato ed il disco, che possiamo ricavare applicando il Teorema di Huygens-Steiner:

    \[I_P = I_c + Md^2\]

dove I_c = \frac{1}{2}MR^2 è il momento di inerzia rispetto all’asse passante per il centro del disco e d = R è la distanza tra l’asse passante per il centro e quello passante per il punto di contatto P, quindi:

    \[I_P = \frac{3}{2}MR^2\]

Riscriviamo ora l’equazione dei momenti ricordando che l’accelerazione angolare \alpha verifica, nel moto di puro rotolamento:

    \[\alpha = \frac{a}{R}\]

per cui:

    \[R(T-Mg\sin \beta) =\frac{3}{2}MR^2\frac{a}{R}\]

Tramite semplici passaggi matematici ricaviamo la tensione T dalla relazione precedente:

    \[T = M\bigg(\frac{3}{2}a + g\sin \beta \bigg)\]

e sostituiamo nell’espressione (1) che abbiamo ottenuto per la cassa:

    \[mg\sin \theta - M\bigg(\frac{3}{2}a + g\sin \beta \bigg) = ma\]

da cui possiamo ricavare l’accelerazione a:

    \[a = \frac{g(m\sin \theta - M \sin \beta )}{m + \frac{3}{2}M} = 3,9 \ m/s^2\]

Il modulo della forza di attrito si ricava dall’equazione dei momenti rispetto all’asse passante per il centro (non per il punto P):

    \[RF_{attr} = I_c\alpha\]

ovvero:

    \[RF_{attr} = \frac{1}{2}MR^2\frac{a}{R}\]

da cui:

    \[F_{attr} = \frac{1}{2}Ma = 2,3 \ N\]