Dinamica dei sistemi - 15

Sul moto di un disco lungo due piani inclinati

Considera la seguente figura in cui un disco omogeneo di massa $m = 1,5 \ kg$ e raggio $R = 2,3 \ m$ parte da fermo dalla cima di un piano inclinato di $\theta = 30^\circ$ ad un’altezza $h_i = 5,4 \ m$ e risale lungo un secondo piano inclinato di $\alpha = 50^\circ$ fino a raggiungere l’altezza $h_f = 2,0$ . Se il moto è di puro rotolamento

Calcola la velocità di traslazione $v$ del centro del disco quando raggiunge l’altezza $h_f$

Soluzione

Dal momento che il moto è di puro rotolamento senza strisciamento possiamo applicare il principio di conservazione dell’energia:

$E_i = E_f$

Nel nostro caso, dato che abbiamo una rototraslazione, l’energia cinetica sarà pari alla somma dell’energia cinetica traslazionale del centro di massa del disco più l’energia cinetica rotazionale, ovvero:

$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$

Il principio di conservazione dell’energia diventa quindi:

$\frac{1}{2}mv_i^2 + \frac{1}{2}I\omega_i^2 + mgh_i = \frac{1}{2}mv_f^2 + \frac{1}{2}I\omega_f^2 + mgh_f$

Il momento di inerzia di un disco di massa $m$ e raggio $R$ è :

$I = \frac{1}{2}mR^2$

Quindi, sostituendo:

$\frac{1}{2}mv_i^2 + \frac{1}{4}mR^2\omega_i^2 + mgh_i= \frac{1}{2}mv_f^2 + \frac{1}{4}mR^2\omega_f^2 + mgh_f$

Dal momento che non abbiamo informazioni sulla velocità angolare $\omega$ possiamo utilizzare la seguente relazione valida nel caso di puro rotolamento (ovvero rotolamento senza strisciamento):