Dinamica dei sistemi – 14

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Sulla carrucola e l’accelerazione lineare

Una cassa di massa $m = 3,4 \ kg$ è appesa con una fune ad una carrucola di massa $M = 1,2 \ kg$ e raggio $R = 0,7 \ m$ , come mostrato in figura. Se la cassa è libera di cadere

Calcola l’accelerazione lineare $a$ della cassa

[Suggerimento: Assumi che la carrucola sia un disco di massa $M$ e raggio $R$ ]

Soluzione

Partiamo dall’equazione dei momenti $M = I\alpha$ e osserviamo dalla figura seguente come la tensione $T$ ai capi della fune sia responsabile del momento torcente che fa ruotare la carrucola:

per cui possiamo scrivere:

$RT = I\alpha$

dove vale la relazione:

$\alpha = \frac{a}{R}$

Ricordiamo che il momento di inerzia di un disco rispetto ad un asse passante per il centro è:

$I = \frac{1}{2}MR^2$

per cui l’equazione del momento torcente diventa:

$RT = \frac{1}{2}MR^2\frac{a}{R}$

Semplificando $R$ ed esplicitando l’accelerazione lineare $a$ otteniamo:

$a = \frac{2T}{M}$

Per calcolare $a$ è necessario trovare il valore della tensione $T$ . Consideriamo le forze che agiscono sulla cassa e disegniamo un opportuno sistema di riferimento:

La risultante delle forze lungo l’asse y sarà:

$mg - T = ma$

da cui

$T = m(g-a)$

Sostituiamo nella relazione trovata in precedenza:

$a = \frac{2m(g-a)}{M}$

e tramite un semplice passaggio matematico otteniamo:

$a = \frac{2mg}{2m + M} = 8,3 \ m/s^2$