Dinamica dei sistemi - 13

Sul pendolo e la velocità angolare

Una sfera piena ed omogenea di massa $m = 1,4 \ kg$ e raggio $R = 0,2 \ m$ è appesa ad un filo lungo $L = 0,8 \ m$ fissata al soffitto, come mostrato in figura. La sfera, inizialmente ferma ad un angolo $\theta_i = 70^\circ$ , viene lasciata libera di muoversi

Calcola la velocità angolare $\omega$ quando la sfera si trova a $\theta = 30^\circ$

Soluzione

Innanzitutto, ricordiamo che il momento di inerzia di una sfera piena ed omogenea rispetto ad un asse passante per il centro è:

$I_c = \frac{2}{5}mR^2$

Se vogliamo calcolare il momento di inerzia rispetto ad un altro asse parallelo all’asse passante per il centro basta applicare il Teorema di Huygens-Steiner per cui:

$I = I_c + md^2$

dove $d$ è la distanza tra l’asse passante per il centro della sfera e l’asse rispetto al quale vogliamo calcolare il momento di inerzia. In questo caso, $d = L$ , per cui:

$I = I_c + mL^2 = \frac{2}{5}mR^2 + mL^2 = 0,9 \ kg \cdot m^2$

Sfruttiamo il principio di conservazione dell’energia:

$E_i = E_f$

L’energia meccanica iniziale è pari all’energia potenziale gravitazionale della sfera dal momento che la sua energia cinetica $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ è uguale a zero perché la sfera parte da ferma. Osserviamo la seguente figura:

Se consideriamo il soffitto come punto di riferimento da cui calcolare le altezze, possiamo scrivere:

$E_i = U_i = -mgL\cos \theta_i$

L’energia meccanica finale sarà invece pari alla somma dell’energia cinetica rotazionale e dell’energia potenziale gravitazionale, per cui:

$E_f = \frac{1}{2}I\omega^2 -mgL\cos \theta$

Uguagliando otteniamo:

$-mgL\cos \theta_i = \frac{1}{2}I\omega^2 -mgL\cos \theta$

da cui, tramite semplici passaggi matematici, possiamo ottenere:

$\omega = \sqrt{\frac{2mgL}{I}\bigg(\cos \theta - \cos \theta_i\bigg)} = 3,6 \ rad/s$