Dinamica dei sistemi – 12

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Sul moto di una pallina e di un disco

Una pallina ed un disco di massa uguale m e raggio uguale R si trovano su di un piano inclinato ad altezza h = 25 \ m, inizialmente ferme. Una volta lasciate libere iniziano un moto di puro rotolamento (ovvero rotolano senza strisciare)

  • Calcola la velocità della pallina v_p e del disco v_d quando arrivano alla base del piano inclinato

[Suggerimento: Assumi che R << h per cui alla base del piano inclinato possiamo assumere che l’energia potenziale gravitazionale di entrambi gli oggetti sia nulla U = 0]

Soluzione

Dal momento che il moto è di puro rotolamento senza strisciamento possiamo applicare il principio di conservazione dell’energia:

    \[E_i = E_f\]

Nel nostro caso, dato che abbiamo una rototraslazione, l’energia cinetica sarà pari alla somma dell’energia cinetica traslazionale del centro di massa più l’energia cinetica rotazionale, ovvero:

    \[K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2\]

Il principio di conservazione dell’energia diventa quindi:

    \[\frac{1}{2}mv_i^2 + \frac{1}{2}I\omega_i^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_p^2 + \frac{1}{2}I\omega_p^2 \]

Il momento di inerzia di una sfera piena di massa m e raggio R (ovvero la pallina) è :

    \[I = \frac{2}{5}mR^2\]

Quindi, sostituendo:

    \[\frac{1}{2}mv_i^2 + \frac{1}{5}mR^2\omega_i^2 + mgh= \frac{1}{2}mv_p^2 + \frac{1}{5}mR^2\omega_p^2 \]

Dal momento che non abbiamo informazioni sulla velocità angolare \omega possiamo utilizzare la seguente relazione valida nel caso di puro rotolamento (ovvero rotolamento senza strisciamento):

    \[v = \omega R\]

da cui:

    \[\omega = \frac{v}{R}\]

per cui:

    \[\frac{1}{2}mv_i^2 + \frac{1}{5}mv_i^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_p^2 + \frac{1}{5}mv_p^2 \]

Dal momento che la pallina (così come il disco) è inizialmente ferma, v_i = 0 per cui:

    \[mgh = \frac{1}{2}mv_p^2 + \frac{1}{5}mv_p^2 \]

da cui:

    \[v_p = \sqrt{\frac{10gh}{7}} = 19 \ m/s\]

Nel caso del disco basta ricordarsi che il momento di inerzia di un disco è:

    \[I = \frac{1}{2}mR^2\]

per cui:

    \[\frac{1}{2}mv_i^2 + \frac{1}{4}mR^2\omega_i^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_d^2 + \frac{1}{4}mR^2\omega_d^2 \]

Anche qui possiamo usare la seguente relazione:

    \[\omega = \frac{v}{R}\]

e ricordandoci che anche il disco parte da fermo (v_i = 0), otteniamo:

    \[mgh = \frac{1}{2}mv_d^2 + \frac{1}{4}mv_d^2 \]

da cui:

    \[v_d = \sqrt{\frac{4gh}{3}} = 18 \ m/s\]