Segmenti – 4

4

Sulla retta r sono disegnati tre punti A, B e C tali che BC = 2AB. Sia M il punto medio di BC

  • Dimostra che N è il punto medio di AC e di BM

Soluzione

Innanzitutto, scriviamo le ipotesi del problema:

IPOTESI

    \begin{align*}& BC \cong 2AB \\& BM \cong MC \\& AN \cong NC\end{align*}

Scriviamo la tesi del problema:

TESI

    \[BN \cong NM\]

Passiamo ora alla dimostrazione:

DIMOSTRAZIONE

Osserviamo che, se M è il punto medio di BC allora BM \cong MC per cui:

    \[BC \cong 2 BM \]

Ma, per ipotesi, vale quindi:

    \[2 BM \cong 2 AB \rightarrow BM \cong AB\]

Osserviamo ora che:

(1)   \begin{align*}NM \cong NC - MC\end{align*}

per costruzione geometrica.

Inoltre, dalla dimostrazione precedente abbiamo visto che BM \cong MC \cong AB e per ipotesi NC \cong AN per cui possiamo scrivere

    \[NC - MC \cong AN - AB\]

Ma, per costruzione geometrica:

(2)   \begin{align*}BN \cong AN - AB \end{align*}

Mettendo insieme la (1) e la (2) otteniamo quindi:

    \[BN \cong NM\]