Esercizio su richiesta - R5

Mettiamoci “a cavallo” della massa $m_1$ e scriviamo le forze che agiscono considerando come positivo il verso che punta in alto:

$T_1 - m_1g - m_1A = m_1a_1'$

dove con $a_1'$ indichiamo l’accelerazione della massa $m_1$ in un sistema di riferimento solidale con la massa.

Per quanto riguarda la massa $m_2$ :

$T_2 - m_2g - m_2A = m_2a_2'$

Dal momento che la carrucola è ideale possiamo assumere che la fune sia inestensibile per cui le tensioni ai suoi capi sono identiche:

(1) $\begin{align*}T_1 = T_2 = T\end{align*}$

Inoltre, le accelerazioni dei due corpi sono uguali in modulo ma opposti in vertice (ricordiamo che $m_1 > m_2$ ) poiché il corpo più pesante scenderà mentre quello più leggero sarà tirato verso l’alto, quindi:

(2) $\begin{align*}a_1' = - a_2'\end{align*}$

con $a_2'$ positivo.

Alla luce delle considerazioni precedenti partiamo dal seguente sistema:

(3) $\begin{align*}\begin{cases}T_1 - m_1g - m_1A = m_1a_1' \\T_2 - m_2g - m_2A = m_2a_2' \\\end{cases}\end{align*}$

Sfruttiamo le condizioni (1) e (2) e riscriviamo:

(4) $\begin{align*}\begin{cases}T - m_1g - m_1A = m_1a_1' \\T - m_2g - m_2A = -m_2a_1' \\\end{cases}\end{align*}$

Sottraiamo le due equazioni nel sistema precedente ed otteniamo:

(5) $\begin{align*}a_1' = \frac{(m_2 - m_1)(g+A)}{m_1+m_2}\end{align*}$

Per ottenere l’accelerazione in un sistema di riferimento esterno al sistema basta sfruttare il teorema di composizione delle accelerazioni:

$\begin{align*}a_1 = a_1' + A\end{align*}$

Quindi:

(6) $\begin{align*}a_1 = \frac{(m_2 - m_1)(g+A)}{m_1+m_2} + A = \frac{(m_2 - m_1)g + 2m_2A}{m_1+m_2}\end{align*}$

Per ricavare $a_2$ basta applicare la relazione (2) alla formula:

$\begin{align*}a_2 = a_2' + A\end{align*}$

da cui:

(7) $\begin{align*}a_2 = - \frac{(m_2 - m_1)(g+A)}{m_1+m_2} + A = \frac{(m_1 - m_2)g + 2m_1A}{m_1+m_2}\end{align*}$