Esercizio su richiesta – D1

D1

Sulla somma e differenza di due vettori

Siano dati due vettori \vec{a} e \vec{b}

  • Calcola il modulo, la direzione ed il verso del vettore \vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b}
  • Calcola il modulo, la direzione ed il verso del vettore \vec{d} = 3\vec{a} - \displaystyle \frac{1}{5}\vec{b}

Soluzione

Dalla figura osserviamo che ogni quadrato corrisponde ad 1 \ cm, per cui, usando una scala 1 \ cm: 2 \ m possiamo dire che ogni quadrato corrisponde a 2 \ m.

Scriviamo le componenti lungo x e lungo y dei vettori. Iniziamo con il vettore \vec{a}:

    \[\vec{a} = (4;0) \ m\]

Scriviamo le componenti lungo x e lungo y del vettore \vec{b}:

    \[\vec{b} = (4; - 2) \ m\]

Concentriamoci sul vettore \vec{c}. Per calcolarne il modulo è necessario scrivere le sue componenti ricordando che:

    \[\vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b}\]

per cui:

    \[\vec{c} = (2 \cdot 4 + 4;0 - 2) \ m = (12;- 2)\]

Il modulo del vettore \vec{c} è definito come:

    \[\vec{c} = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{12^2 + (-2)^2} = 12 \ m\]

L’angolo che il vettore \vec{c} forma si ricava dalla formula:

    \[\tan \theta = \bigg(\frac{y}{x}\bigg) = \bigg(\frac{-2}{12}\bigg)\]

da cui:

    \[\theta = \tan^{-1}\bigg(\frac{2}{12}\bigg) = - 9,5^\circ\]

Passiamo ora al vettore \vec{d}. Ricordiamo che:

    \[\vec{d} = 3\vec{a} - \displaystyle \frac{1}{5}\vec{b}\]

    \[\vec{d} = (3 \cdot 4 - \displaystyle \frac{1}{5} \cdot 4; 0 - \displaystyle \frac{1}{5} \cdot (-2)) \ m\]

da cui otteniamo:

    \[\vec{d} = (\displaystyle \frac{56}{5}; \displaystyle \frac{2}{5}) \ m\]

Il modulo del vettore \vec{d} è:

    \[\vec{d} = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\bigg(\displaystyle \frac{56}{5}\bigg)^2 + \bigg(\displaystyle \frac{2}{5}\bigg)^2} = 11 \ m\]

L’angolo che il vettore \vec{d} forma si ricava dalla formula:

    \[\tan \theta = \bigg(\frac{y}{x}\bigg) = \bigg(\frac{2}{5} \cdot \displaystyle \frac{5}{56}\bigg)\]

da cui:

    \[\theta = \tan^{-1}\bigg(\displaystyle \frac{1}{28}\bigg) = 2,0^\circ\]