Esercizio su richiesta - C1

Sul moto circolare uniforme di un uragano

È noto che gli uragani sono formati da masse d’aria che si muovono in moto circolare. Assumendo che le masse d’aria abbiano una velocità angolare costante e siano gas ideali e privi di viscosità che si muovano di moto circolare uniforme

Si determini la pressione atmosferica come funzione della distanza dal centro dell’uragano.

Soluzione

Consideriamo una singola massa d’aria che si muove di moto circolare uniforme. Questa risente di una forza centripeta per unità di massa pari a:

$f_c = \frac{v^2}{r}$

dove $v$ è la velocità tangenziale della singola massa d’aria ed $r$ è la distanza della massa d’aria dal centro.

Consideriamo che l’uragano sia formato da $N$ masse d’aria possiamo considerare la forza centripeta totale:

$F_c = Nf_c$

Dal momento che la velocità angolare è costante possiamo riscrivere la velocità lineare tangenziale $v$ in termini della velocità angolare $\omega$ :

$v = \omega r$

Sostituendo nell’espressione della forza centripeta otteniamo:

$F_c = N\omega^2r$

Ogni massa d’aria risentirà poi di un gradiente di pressione. Supponiamo che la pressione aumenti all’aumentare della distanza dal centro dell’uragano (che chiameremo $p_0$ ). Allora possiamo scrivere la seguente equazione:

$N\nabla p = \rho F_c$

dove il gradiente di pressione (assumendo che la pressione cambi radialmente) può anche essere riscritto come:

$\nabla p = \frac{dp}{dr}$

Quindi otteniamo un’equazione differenziale del tipo:

$N\frac{dp}{dr} = \rho N\omega^2r$

Semplificando $N$ ed assumendo il gas ideale (quindi la densità è una costante perché omogenea!):

$\frac{dp}{dr} = \rho \omega^2 r$

da cui

$dp = \rho \omega^2 rdr$

Integriamo:

$\int dp = \rho \omega^2 \int rdr$

Gli estremi di integrazione per l’integrale in $dp$ vanno da $p_0$ a $p(r)$ e gli estremi di integrazione per l’integrale in $dr$ vanno da $0$ (ovvero il centro dell’uragano) ed $r$ :

$\int_{p_0}^{p(r)} dp = \rho \omega^2 \int_0^r rdr$

per cui:

$p\bigg|_{p_0}^{p(r)} = \frac{1}{2}\rho \omega^2 r^2\bigg|_0^r$

Quindi:

$p(r) - p_0 = \frac{1}{2}\rho \omega^2 (r^2 - 0^2)$

Infine, tramite un semplice passaggio matematico, otteniamo:

$p(r) = p_0 + \frac{1}{2}\rho \omega^2 r^2$

Notiamo come al centro dell’uragano ( $r = 0$ ) la pressione sia minima e pari a $p_0$ e più ci allontaniamo più questa aumenta.