Esercizio su richiesta - B1

Su lavoro

Un uomo di massa $m = 70 \ kg$ parte da fermo ad un’altezza $h = 90 \ m$ e scivola lungo una collina. Alla fine della collina percorre un tratto orizzontale in presenza di attrito $F_{attr} = 40 \ N$ lungo $x = 130 \ m$

Calcola le forze che agiscono sull’uomo
Calcola il lavoro totale

Soluzione

Per il tratto lungo la collina (che può essere considerata un piano inclinato) basta scegliere un opportuno sistema di riferimento come quello mostrato in figura:

Disegniamo tutte le forze che agiscono sull’uomo (che qui rappresentiamo come un cubo):

Le forze che agiscono sono la reazione vincolare $\vec{N}$ esercitata dal piano inclinato e la forza peso $\vec{P}$ della cassa.

La forza peso $\vec{P}$ deve essere scomposta nelle componenti $P_{\parallel}$ e $P_{\perp}$ , ovvero le proiezioni di $\vec{P}$ lungo gli assi x ed y, rispettivamente, del nostro sistema riferimento, come mostrato in figura:

La forza peso parallela è:

$P_{\parallel} = mg\sin\theta$

La forza peso perpendicolare è:

$P_{\perp} = mg\cos\theta$

La reazione vincolare $N$ la puoi ricavare dalla risultante delle forze lungo l’asse $y$ che è nulla poiché l’uomo non si stacca dal piano:

$N = P_{\perp} = mg\cos\theta$

Il lavoro totale è pari alla somma del lavoro della forza peso lungo la collina $\mathcal{L}_1$ ed il lavoro della forza d’attrito lungo il piano orizzontale $\mathcal{L}_2$ , per cui:

$\mathcal{L}_{tot} = \mathcal{L}_1 + \mathcal{L}_2$

Cominciamo dalla collina. In assenza di altri dati possiamo sfruttare l’unico dato a nostra disposizione, ovvero $h = 90 \ m$ ed utilizzare la relazione seguente:

$\mathcal{L}_1 = - \Delta U = - (U_f - U_i)$

dove $U$ è l’energia potenziale. In questo caso abbiamo a che fare esclusivamente con l’energia potenziale gravitazionale per cui, inizialmente, l’uomo si trova ad un’altezza $h$ e vale:

$U_i = mgh$

Quando arriva alla fine della collina l’altezza dal suolo è nulla, per cui:

$U_f = 0$

Quindi:

$\mathcal{L}_1 = - (U_f - U_i) = - (0 - mgh) = mgh = 6,2 \cdot 10^4 \ J$

Per il tratto orizzontale il lavoro è ricavabile come il prodotto tra la forza che agisce sull’uomo per lo spostamento, quindi dalla seguente formula:

$\mathcal{L}_2 = - Fx = - 5,2 \cdot 10^3 \ J$

dove il segno “meno” è dovuto al fatto che il corpo si sposta in una direzione mentre la forza di attrito spinge nella direzione opposta.

Il lavoro totale è dunque:

$\mathcal{L}_{tot} = \mathcal{L}_1 + \mathcal{L}_2 = 5,7 \cdot 10^4 \ J$