Esercizio su richiesta - A1

Su una moto ed una macchina in moto rettilineo

Una moto sta guidando con una velocità $v_i = 70 \ km/h$ e nello stesso istante passa un auto con una velocità costante pari a $v_f = 130 \ km/h$ . La moto accelera fino a raggiungere una velocità $v = 180 \ km/h$ in un tempo $t = 4,6 \ s$

Calcola l’accelerazione della moto
Calcola il tempo alla quale si incontrano
Calcola la posizione dove si incontrano

Soluzione

Innanzitutto, portiamo la velocità iniziale $v_i$ della moto e la velocità finale $v_f$ in $m/s$

$v_i = \frac{70}{3,6} = 19 \ m/s$

$v_f = \frac{180}{3,6} = 50 \ m/s$

Dal momento che ci servirà successivamente, portiamo in $m/s$ anche la velocità dell’auto:

$v = \frac{130}{3,6} = 36 \ m/s$

L’accelerazione è definita come la differenza tra la velocità finale meno la velocità iniziale diviso il tempo impiegato:

$a = \frac{v_f - v_i}{t} = \frac{50 - 19}{4,6} = 6,7 \ m/s^2$

Per rispondere alle altre due domande scriviamo la legge oraria della moto, ovvero la legge oraria del moto uniformemente accelerato:

(1) $\begin{align*}x_M = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2\end{align*}$

dove $v_0$ corrisponde alla velocità iniziale $v_0 = v_i = 19 \ m/s$ .

Ora scriviamo la legge oraria dell’auto che si muove con velocità costante, quindi di moto rettilineo uniforme:

(2) $\begin{align*}x_A = x_0 + vt\end{align*}$

Quando la moto e la macchina si incontrano le due posizioni $x_M$ ed $x_A$ sono identiche, per cui possiamo scrivere:

$x_M = x_A$

Al posto di $x_M$ ed $x_A$ scriviamo ora i valori che troviamo nelle formule (1) e (2):

$x_0 + v_it + \frac{1}{2}at^2 = x_0 + vt$

Semplifichiamo i termini uguali a destra e sinistra dell’uguale, ovvero $x_0$ . Ciò che rimane è:

$v_it + \frac{1}{2}at^2 = vt$

Notiamo come $t$ compare in tutti i membri, quindi è semplificabile e rimane:

$v_i + \frac{1}{2}at = v$

Ora è necessario fare un semplice passaggio matematico per trovare il tempo $t$ :

$t = \frac{2(v-v_i)}{a} = \frac{2(36-19)}{6,7} = 5,1 \ s$

La moto e l’auto si incontrano dopo un tempo pari a $t = 5,1 \ s$ .

Per trovare la posizione in cui si incontrano puoi scegliere una delle due leggi orarie (quindi la formula (1) oppure la (2)) e sostituire il valore di $t$ . Per semplicità scegliamo la (2):

$x_A = vt = 36 \cdot 5,1 = 184 \ m$

Ricorda che, spesso, per semplicità, si preferisce dare il valore $x_0 = 0$ alla posizione iniziale.